1 2
    Последнее соотношение можно переписать в виде а из соотношений 1-4 получаем












     Образовался треугольник Паскаля, каждый элемент которого
    Именно это фундаментальное свойство треугольника Паскаля связывает его не только с комбинаторикой и теорией вероятностей, но и с другими областями математики и ее приложений.
     Теперь рассмотрим свойства строк треугольника Паскаля:










     Нахождение элемента треугольника
    Каждое число в треугольнике Паскаля можно определить тремя способами. Оно равно Cnk, где n - номер строки, k- номер элемента в строке. Докажем, что оно равно сумме чисел предыдущей диагонали, начиная со стороны треугольника и кончая числом, стоящим над данным (в силу симметричности треугольника Паскаля докажем это утверждение для левой диагонали).
       Мы должны проверить следующее равенство:  


     Действительно,

     Каждое число треугольника Паскаля, уменьшенное на единицу, равно сумме всех чисел, заполняющих параллелограмм, ограниченный теми правой и левой диагоналями, на пересечении которых стоит данное число, причем сами эти диагонали в рассматриваемый параллелограмм не включаются. Докажем это. Данное число равно сумме чисел предыдущей диагонали, начиная со стороны треугольника и кончая числом, стоящим над ним. В свою очередь, последний член этой суммы равен сумме элементов предыдущей диагонали и т.д. Продолжая этот процесс, придем к сумме чисел требуемого параллелограмма и еще одного члена, стоящего на стороне треугольника и равного 1.
1 2
Закрыть