ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА - плоские линии, прямоугольные координаты точек которых удовлетворяют алгебраическому уравнению второй степени. Среди линий второго порядка - эллипсы (в частности, окружности), гиперболы, параболы.

       Линии второго порядка появились как сечения конических поверхностей.

       Одним из первых, кто начал изучать конические сечения — эллипс, парабола, гипербола, был ученик знаменитого Платона, древнегреческий математик Менехм (IV в. до н.э.). Решая задачу об удвоении куба, Менехм задумался: «А что случится, если разрезать конус плоскостью, перпендикулярной его образующей?». Так, изменяя угол при вершине прямого кругового конуса, Менехм получил три вида кривых: эллипс — если угол при вершине конуса острый; парабола — если угол прямой; одну ветвь гиперболы — если угол тупой.

       Название этих кривых придумал не Менехм. Их предложил один из крупнейших геометров древности Аполлоний Пергский* , посвятивший замечательным кривым трактат из восьми книг «Конические сечения» («О кониках»). Семь книг сохранились, три из них — в арабском переводе. Первые четыре книги содержат начало теории и основные свойства конических сечений. Это — трактат об эллипсе, параболе и гиперболе, определяемых как сечения кругового конуса, где изложение доведено до исследования эволют конического сечения.

       Аполлоний показал, что кривые можно получить, проводя различные сечения одного и того же кругового конуса, причем любого. При надлежащем наклоне секущей плоскости удается получить все типы конических сечений. Если считать, что конус не заканчивается в вершине, а проектируется на нее, тогда у некоторых сечений образуется две ветви.

       Такие кривые, как эллипс, гипербола и парабола имеют большое значение для космонавтики и астрономии, механики и архитектуры. С ними были знакомы еще древние греки. Греческие математики не знали ни метода координат, ни уравнений, тем не менее все свойства эллипса, гиперболы и параболы были им хорошо известны. Они получали и изучали эти кривые как плоские сечения конической поверхности. С тех пор эллипс, гиперболу и параболу называют коническими сечениями. Есть у эллипса, гиперболы и параболы и другое общее название. Уравнения этих кривых обязательно содержат по крайней мере одно слагаемое второго порядка Поэтому эллипс, гиперболу и параболу называют кривыми второго порядка.

       На протяжении всей истории развития науки и техники кривые второго порядка неизменно привлекали к себе внимание многих исследователей и ученых. Это объясняется тем, что эллипс, гипербола и парабола очень часто встречаются в окружающих нас явлениях природы и человеческой деятельности. Приведу лишь некоторые примеры. Камень или снаряд, выпущенный под острым углом к горизонту, летит по кривой, близкой к параболе (форма кривой немного искажается из-за сопротивления воздуха). Для устройства разнообразных прожекторов и антенн используются так называемые «параболические зеркала». На производстве в некоторых механизмах применяются «эллиптические зубчатки». Часто две величины бывают связаны между собой обратно пропорциональной зависимостью (например, давление и объем газа согласно закону Бойля - Мариотта). Графиком такой функциональной зависимости является гипербола.

       Особенно большое значение кривые второго порядка приобрели после открытий немецкого астронома Иоганна Кеплера** (1571-1630) и английского физика и математика Исаака Ньютона *** (1643-1727). Кеплер, наблюдая за видимыми перемещениями планет на небесной сфере, открыл три закона, один из которых устанавливает, что каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. Ньютон не только теоретически обосновал законы движения планет, но и доказал, что каждое тело под действием притяжения другого тела может двигаться только по эллипсу, либо по параболе, либо по гиперболе. В частности, по этим кривым происходит движение всех комет Солнечной системы.

       В наше время, когда вокруг Земли вращаются по эллиптическим орбитам**** тысячи искусственных спутников, когда к Луне, Венере, Марсу отправлены десятки космических станций, кривые второго порядка используются еще интенсивнее, чем прежде.


        *) АПОЛЛОНИЙ ПЕРГСКИЙ (ок. 260 — 170 до н. э.), древнегреческий математик и астроном, ученик Евклида. В основном труде «Конические сечения» (8 книг) дал полное изложение их теории. Для объяснения видимого движения планет построил теорию эпициклов. Идеи Аполлона Пергского оказали большое влияние на развитие естествознания нового времени.

        **) КЕПЛЕР (Kepler) Иоганн (1571-1630), немецкий астроном, один из творцов астрономии нового времени. Открыл законы движения планет (законы Кеплера), на основе которых составил планетные таблицы (т. н. Рудольфовы). Заложил основы теории затмений. Изобрел телескоп, в котором объектив и окуляр — двояковыпуклые линзы.

        ***) НЬЮТОН (Newton) Исаак (1643-1727), английский математик, механик, астроном и физик, создатель классической механики, член (1672) и президент (с 1703) Лондонского королевского общества.

        ****) ОРБИТА НЕБЕСНОГО ТЕЛА, в гравитационном поле другого тела (планеты, кометы в Солнечной системе и т. п.) представляет собой окружность, эллипс, параболу или гиперболу, в фокусе которых находится центр масс системы.

Закрыть