Образцы решений основных задач

§ 1. Многочлены над областью целостности

                Задача 11.   Найдите значение многочлена f(x) и всех его
производных при    х = –2.

            Решение.

1.Применяя схему Горнера разложим данный многочлен по
степеням двучлена (х + 2).

 

2

16

50

72

47

–2

2

12

26

20

7

–2

2

8

10

0

 

–2

2

4

2

 

–2

2

0

 

–2

2

 

            Значит, f(x) = 2(х + 2)4 + 2(х + 2)2 + 7
или f(x) = 7 + 2(х + 2)2 + 2(х + 2)4.
2. Для ответа на поставленный вопрос воспользуемся формулой
Тейлора (см. задачу 8). Заключаем:

f(–2) = 7, f I(–2) = 0, f II(–2) = 0, f III(–2) = 4, fIV (–2) = 48.

            Ответ: f(–2) = 7, f I(–2) = 0, f II(–2) = 4, f III(–2) = 0, fIV (–2) = 48.

            Замечания.

1.Ответ на поставленный вопрос можно было получить
непосредственной подстановкойзначения х = –2 в многочлен f(x) и
его производные, найденные непосредственно поопределению
производной многочлена. В большинстве случаев мы приходим к
громоздким вычислениям.
2.Второе действие задачи можно было выполнить по-другому,
воспользовавшисьопределением производной многочлена.

             Продемонстрируем это.

 f(–2) = 7 – это вполне очевидно из разложения многочлена f(x)
по степенямдвучлена (х + 2).

f I(х) = (2(х + 2)4 + 2(х + 2)2 + 7)1 = 8(х + 2)3 + 4(х + 2) Þ f I(–2) = 0.

f II(х) = (8(х + 2)3 + 4(х + 2))1 = 24(х + 2)2 + 4 Þ  f II(–2) = 4.

f III(х) = (24(х + 2)2 + 4)1 = 48(х + 2) Þ f III(–2) = 0.

fIV (х) = (48(х + 2))1 = 48 Þ fIV (–2) = 48.

 

                              Copyright © 2008-2009 Овчинников А.В.  Филиал КГПУ. Все права защищены.

 

Закрыть