Образцы решений основных задач

§ 2. Теория делимости многочленов

                Задача 14. Выполните деление с остатком многочлена  
f(x) = 3x4 + 5x3 – x2 + 2 на g(x) = 2x2 + 3x + 1 двумя способами:
                А) «уголком»;
                Б) с помощью метода неопределенных коэффициентов.

             Решение.

             А) Разделим «уголком» многочлен f(x) большейстепени на многочлен
q(x) меньшей степени:

1. Уравниваем старшие коэффициенты многочленов, длячего многочлен
g(x) умножим на 3х2, а затем находим разность  f1(x) = f(x) – – g(x) × 3x2

Таким образом, cтепень многочлена f1(x) больше степени делителя g(x),
поэтомуповторяем шаг деления «уголком».
               
2. Уравниваем старшие членымногочленов f1(x) и g(x), для чего
многочлен h(x) умножим на (–4х), а затем найдем разность   

 f2(x) = f1(x) – h(x) × (–4х). 

               
             Таким образом, получаем f1(x) = g(х) × (–4)х + f2(x), откуда,  
f(x) = g(x) × 3x2 + g(x) × (–4х) + f2(x) = g(x) × (3x2 – 4x) + f2(x). Степень
многочлена f2(x) равна степени делителя g(x), поэтому повторяемеще раз
шаг деление «уголком».     
               
3. Уравниваем теперь старшиечлены многочленов f2(x) и g(x),
для чего g(x) умножаем на 8 и находим разность f2(x) – g(x) × 8:
Степеньразности r(x) = f2(x) – g(x) × 8 = –20х – 6 меньшестепени
делителя g(x), поэтому деление «уголком» закончено. Таким образом,
 f(x) = g(x) × 3x2 + g(x) × (–4х) + f2(x) = g(x) × 3x2 + g(x) × (–4х) + 
 + g(x) × 8 + r(x) = g(x) × (3x2 – 4х + 8) +  r(x).
             В итоге получаем неполное частное g(x) = 3x2 – 4х + 8 и остаток
r(x) = –20х – 6.
             В «свернутом» виде алгоритмделения «уголком» в нашем с
лучае выглядит так:

             Ответ:g(x) = 3х2 – 4х + 8, r(x) = –20х – 6.

             Б) При выполнении деления спомощью метода неопределенных
коэффициентов используется теорема о делении состатком
f(x) = g(x) × q(x) + r(x), где r(x) – либо нулевой многочлен, либо его степень
меньшестепени делителя g(x).
             В нашем случае делимое f(x) имеет четвертую степень, делитель
g(x) имеет вторую степень, откуда заключаем, что неполное частное
q(x) должно иметь вторую степень, а остаток r(x) - первую степень. Тогда
3x4 + 5x3 – x2 + 2 = (х2 + 3х + 1) × (Ах2 + Вх + С) + (Dх + Е),
где А, В, С, D, Е – неопределенные коэффициенты. Чтобы их найтираскроем
скобки в правой части равенства, получим:
                3x4 + 5x3 – x2 + 2 = Ах4 + Вх3 + Сх2 + 3Ах3 + 3Вх2 + 3Сх + 
+ Ах2 + Вх  + С + Dх + Е.
             Приравняем теперь на основанииопределения равенства
многочленов коэффициенты при одинаковых степенях х слеваи справа,
получим систему линейных уравнений, которую решаем любым
удобнымспособом:

             Отсюда заключаем:

             Значит, q(x) = 3x2 – 4х + 8, r(x) = –20х – 6.

             Ответ:q(x) = 3x2 – 4х + 8, r(x) = –20х – 6.

 

                              Copyright © 2008-2009 Овчинников А.В.  Филиал КГПУ. Все права защищены.

 

Закрыть