Образцы решений основных задач

§ 2. Теория делимости многочленов

                Задача 17. Найдите линейную форму НОД многочленов
f(x) и g(x) наиболее удобным способом, если
А) f(x) = х4 + 3х3 – х2 – 4х –3, g(x) = 3х3 + 10х2 + 2х – 3.
Б) f(x) = х5 + х4 + 2х3 + 2х2 + 2х +1, g(x) = х 4 + 4х3 + 6х2 + 5х + 2.

          Решение.

          Приведем два способа решения данной задачи.
         
          А) С помощью алгоритма Евклида.
Применим к многочленам f(x) и g(x) алгоритмЕвклида.
Заметим, что здесь произвол, состоящий в умножении многочленов на
постоянныемножители возможный при нахождении наибольшего общего
делителя, допускать нельзя,так как здесь мы будем использовать и частные,
которые при указанном произволемогут искажаться.
          Линейная форма НОД многочленов f(x) и g(x) имеет вид:
f(x) × U(x) + g(x) × V(x) = d(x),
где d(x) – это НОД многочленов f(x) и g(x), а U(x) и V(x) таковы,
что степень многочлена U(x) меньше степени многочлена g(x),
а степень V(x) меньше степени f(x).
          Наша задача состоит в нахождении многочленов U(x) и
V(x), удовлетворяющих озвученному выше условию.
          Сначала находим НОД многочленов f(x) и g(x):

          Следовательно, (f(x); g(x)) = 9х + 27 = 9 × (х + 3), т.е. (f(x); g(x)) = х + 3.

          Из этого получаем:

          Из последнего равенства находим:

          Из первого равенства находим:

          Подставим это в предыдущее равенство и получим:

          Отсюда заключаем, что

          Значит, линейная форма НОД многочленов f(x) и g(x) имеет вид:

          Ответ:

          Б) С помощью метода неопределенных коэффициентов.

Применим к многочленам алгоритм Евклида

Следовательно D(x) = (f(x); g(x)) = х2 + х + 1.

Делим теперь f(x) и g(x) на D(x), например «уголком»:

          Следовательно, f1(x) = х3 + х + 1, g1(x) = х2+ 3х + 2.
Согласно теории, многочлены f1(x) и g1(x) взаимнопросты. Поэтому
должно выполняться равенство: f1(x) × U(x) + g1(x) × V(x) = 1, при
этом степень многочлена U(x) меньше степени многочлена g1(x), а
степеньмногочлена V(x) меньше степени многочлена f1(x).

          Имеем:

f1(x) = х3 + х + 1 – многочлен третьей степени, а, значит,  

V(x) = Ах2 + Вх + С;

g1(x) = х2 + 3х + 2 – многочлен второй степени, поэтому  

U(x) = Dх + Е.

          И тогда получаем:

3 + х + 1) × (Dх + Е) + (х2 + 3х + 2) × (Ах2 + Вх + С) = 1.

          Раскрываем скобки в левой части равенства:

Dх4 + Dх2 + Dх + Ех3 + Ех + Е + Ах4 + Вх3 + Сх2 + 3Ах3 + 3Вх2

+ 3Сх + 2Ах2 + 2Вх + 2С = 1.

          Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х слева и
справа, получаем систему линейных уравнений, которую решаем любым
известнымспособом:

          Следовательно,

          Умножим полученное равенство на D(x) = х2+ х + 1, получим линейную
форму НОД для многочленов f(x) и g(x):

          Ответ:

 

                              Copyright © 2008-2009 Овчинников А.В.  Филиал КГПУ. Все права защищены.

 

Закрыть