Образцы решений основных задач

§ 2. Теория делимости многочленов

                Задача 21. Найдите наибольший общий делитель многочлена
f(x)  = (х + 1) ×4 – 1) ×3 – 1) и его производной f ¢(x).

          Решение.

          Длярешения задачи воспользуемся теоремой о кратных множителях:
«если некоторыйнеприводимый над полем Р многочлен р(х) является
k - кратным множителем многочлена f(x) с коэффициентами из поля Р,
тор(х) является (k – 1) - кратным множителем его производной   f ¢(x)».
          Так как коэффициенты многочлена f(x)  рациональны, то в качестве
поля Р можно взятьполе R - расширение поля Q(не будет ошибки, ели взять
и более широкое поле(например, поле комплексных чисел С), но в этом случае
решение задачи будетболее громоздким).
          Находим каноническое разложение многочлена f(x)  над полем R.
Так как

                х4 – 1 = (х2 + 1) ×2 – 1) = (х2 + 1) × (х + 1) × (х – 1),

                то х3 – 1 = (х – 1) ×2 + х + 1),

                f(x) = (х + 1)2 × (х – 1)2 ×2 + 1) (х2 + х + 1).

          Множители (х + 1) и (х – 1) входят в f(x)  с кратностью 2. Следовательно,
в f ¢(x) они выйдут с кратностью 1.
          Множители2 + 1) и  2 + х+ 1) являются простыми
(иначе, однократными) множителями f(x) , а поэтому в разложение f ¢(x)
они не войдут.

          Значит, (f(x); f ¢(x)) = (х + 1) × (х – 1) = х2 – 1.

          Ответ: (f(x); f ¢(x)) = х2 – 1.

 

                              Copyright © 2008-2009 Овчинников А.В.  Филиал КГПУ. Все права защищены.

 

Закрыть