Образцы решений основных задач

§ 2. Теория делимости многочленов

                Задача 23. Найдите наибольший общий делитель и наименьшее
общее кратноемногочленов f(x) = (х2 + 5х + 6)×2–1) и h(x) = (х4 – 2) ×
 ×2 + 2х – 3).

     Решение.

Чтобы найти наибольший общий делитель многочленов f(x)  и h(x)
достаточно выписать всеодинаковые неприводимые множители данных
многочленов и найти их произведение.
Чтобы найти наименьшее общеекратное многочленов f(x)  и h(х), нужно
выписать всенеприводимые множители из разложения f(x)  и приписать
к ним недостающие неприводимыемножители из разложения h(x) и найти
их произведения.
Многочлены f(x)  и h(x) имеют рациональныекоэффициенты.
Следовательно, достаточно разложить их на неприводимые множителинад
полем действительных чисел R.

     Имеем:

х2 + 5х + 6 = (х + 2) × (х + 3),

х2 – 1 = (х + 1) × (х – 1),

х2 + 2х – 3 = (х + 3) ×(х – 1).

Многочлен же4 – 2) неприводим над полем R (так как  не является рациональным числом).Разложения многочленов f(x)  и h(x) на неприводимые множители над полем R таковы:

f(x) = (х + 2) × (х + 3) × (х + 1) × (х – 1).

h(x) = (х4 – 2) × (х + 3) × (х – 1).

     Отсюда и получаем, что

(f(x); h(x)) = (х + 3) × (х – 1) = х2 + 2х – 3;

[f(x); h(x)] = (х + 2)×(х + 3)× (х + 1)× (х – 1)×4 – 2) = (х2 + 5х + 6) ×

×2 – 1) ×4 – 2).

     Ответ: (f(x); h(x)) = х2 + 2х – 3;
  [f(x); h(x)] = (х2 + 5х + 6) ×2 – 1) ×4 – 2).

 

                              Copyright © 2008-2009 Овчинников А.В.  Филиал КГПУ. Все права защищены.

 

Закрыть