ќбразцы решений основных задач

§ 3. ћногочлены над числовыми пол€ми

                «адача 26. Ќайдите приведенный многочленнаименьшей
степени с комплексными коэффициентами, имеющий набор корней:
простыекорни 1, (Ц2) и 3 и двух кратный корень   (1 Ц 3i).
 
              –ешение.
              »з теории известно, что если х = с Ц корень многочлена
f(x), то f(x)  делитс€ на двучлен (х Ц с).—ледовательно, искомый многочлен
должен делитьс€ на (х Ц 1), на (х + 2), на (хЦ 3) и на (хЦ (1 Ц 3i))2.
               
              ј так как он должен иметьнаименьшую степень, то
f(x) = (х Ц 1)×(х + 2)×(х Ц 3)×(х Ц(1 Ц 3i))2 = (х2 + х Ц 2)×(х Ц 3)×(х2 Ц 2 ×
× (1 Ц 3i)х + (1 Ц 3i)2) = (х3 Ц 3х2 + х2 Ц 3х Ц 2х + 6)×(х2 +(Ц2 + 6i)х + 
+ 1 Ц 6i + 9i2) = (х3 Ц 2х2 Ц 5х + 6)×(х2 +(Ц2 + 6i)х Ц 8 Ц 6i) = х5
+ (Ц2 + 6i)х4 Ц 8х Ц 6iх3 Ц 2х4 +(4 Ц 12i)х3 + 16х2 + 12iх2 Ц 5х2
 + (10 Ц 30i)х2 + 40х + 30iх + 6х2 + (Ц12 + 36i)х Ц 48 Ц 36i = х5 + (Ц4 + 6i)х4+
+ (Ц9 Ц 18i)х3 + (32 Ц 18i)х2 + (28 + 66i)х Ц 48 Ц 36i.   
 
             ќтвет:
f(x) = х5 + (Ц4 + 6i)х4 +(Ц9 Ц 18i)х3 + (32 Ц 18i)х2 + (28 + 66i)х Ц 48 Ц 36i

                              Copyright © 2008-2009 ќвчинников ј.¬.  ‘илиал  √ѕ”. ¬се права защищены.