Образцы решений основных задач

§ 3. Многочлены над числовыми полями

                Задача 27. Пользуясь формулами Виета, составьте многочлен
f(x) , имеющий корни х1 = х2 = 4, х3,х4 = 1 ± 2i.
 
              Решение.
             Длярешения задачи воспользуемся формулами Виета, которые
выражают коэффициентыискомого многочлена f(x)  через его корни.
             Таккак искомый многочлен должен иметь 4 корня, то наименьшая
возможная его степеньравна четырем. Значит,
f(x) = а0х4 + а1х3 + а2х2 + а3х + а4,
где а0 можно взятьпроизвольно, а остальные коэффициенты следующим
образом выражаются через корни х1, х2, х3, х4 многочлена f(x):
               а1 = –а01 + х2 + х3 + х4),
               а2 = а01х2 + х1х3 + х1х4 + х2х3 + х2х4 + х3х4),  
               а3 = –а01х2х3 + х1х3х4 + х1х2х4 + х2х3х4),
               а4 = а0х1х2х3х4.
                 Положим а0 =1, а вместо х1, х2, х3, х4 подставимсоответственно числа
из условия и получим:
               а1 = 4 + 4 +(1 + 2i) + (1 –  2i) = 10,
               а2 = 4 × 4 + 4(1 + 2i) + 4 × (1 –  2i) + 4 × (1 + 2i) + 4 × (1 – 2i) +
+ (1 + 2i)(1 – 2i) = 16 + 4 + 8i + 4 – 8i+ 4 + 8i + 4 – 8i + 1 – 4i2 = 37,
               а3 = –(4 × 4 × (1 + 2i) + 4 × 4 × (1 –  2i) + 4 × (1 + 2i) (1 – 2i) + 4 ×
× (1 + 2i)(1 – 2i)) = –(16 + 32i + 16 – 32i + 4 – 16i2 + 4 – 16i2) = –72,
               а4 = 4 × 4 × (1 + 2i) (1 –  2i) = 16(1 – 4i2) = 80.
 
             Следовательно, f(x) = х4 + 10х3 + 37х2 – 72х + 80.
 
             Ответ: f(x) = х4 + 10х3 + 37х2 – 72х + 80.

                              Copyright © 2008-2009 Овчинников А.В.  Филиал КГПУ. Все права защищены.

 

Закрыть