Образцы решений основных задач

§ 3. Многочлены над числовыми полями

                Задача 28. Найдите приведенный многочлен наименьшей
степени сдействительными коэффициентами, имеющий набор
корней: 3, –2 и (3 – 2i).
              
              Решение.
              Согласно теории все комплексныекорни многочлена с действительными
коэффициентами попарно сопряжены. В связи сэтим, так как х3 = 3 – 2i- корень
искомого многочлена, то корнем его будет и   х4 = 3 + 2i.
              Таким образом, искомый многочлен f(x)  имеетчетыре корня, а так как
он имеет наименьшую степень, то
f(x) = ( х – 3)(х + 2)(х –(3 – 2i))(х –(3 + 2i)).
             Отсюда получаем:
f(x) = (х2 – х – 6)(х2 – х(3 + 2i)–(3 – 2i)х +(3 – 2i)(3 + 2i)) = (х2 – х – 6) ×
×2 – 3х – 2iх – 3х + 2iх + 9 – 4i2) =  2 – х – 6) ×2 – 6х + 13) = х4
– 6х3 + 13х2 – х3 + 6х2 – 13х – 6х2 + 36х – 78 = х4 – 7х3 + 13х2 + 23х – 78.
 
             Ответ: f(x) = х4 – 7х3 + 13х2 + 23х – 78.
 

                              Copyright © 2008-2009 Овчинников А.В.  Филиал КГПУ. Все права защищены.

 

Закрыть