Образцы решений основных задач

§ 3. Многочлены над числовыми полями

               Задача 29. Дан многочлен f(x) = 3х4 – 5х3 + 3х2 +4х – 2 с
действительными коэффициентами и a = 1 + i – один изего корней.
Найдите остальные корни многочлена f(x).
 
             Решение.
             Так как f(x)  – многочлен с действительными коэффициентами и
a = 1 + i – его корень (он –  комплексный корень), то корнем f(x)  будет и
сопряженное с a число
             Тогда получаем:
f(x) = (х – (1 + i))(х – (1 – i))× h(x).
             Или иначе:
4 – 5х3 + 3х2 + 4х + 2 = (х2 – х (1 – i))–(1 + i))х + (1 + i)(1 – i)× h(x).
4 – 5х3 + 3х2 + 4х + 2 = (х2 – х + iх – х – iх + 1 – i2) × h(x).
4 – 5х3 + 3х2 + 4х + 2 = (х2 – 2х + 2) × h(x).
             Отсюда получаем:
 
             Деление выполним «уголком».
             Значит, получаем, что
2 + х – 1 = 0.
D = 12 – 4 × 3 × (–1) = 1 + 12 = 13.
 
             Следовательно, если a1 = 1 + i то остальными корнями многочлена
f(x)  будут:
a2 = 1 – i,
             Ответ:
 

                              Copyright © 2008-2009 Овчинников А.В.  Филиал КГПУ. Все права защищены.

 

Закрыть