Образцы решений основных задач

§ 2. Теория делимости многочленов

                Задача 30.Найдите границы действительных корней
многочлена f(x) = х5 + 5х4 + 10х3 – 5х – 3.
               А) с помощью формул;
               Б) с помощью метода Ньютона.
               Сопоставьте результаты.
 
             Решение.
             Найти границы действительных корней многочлена f(x)  - значит
найти такие два числа М1 и М2, что для любого действительного корня l
многочлена f(x)  выполняются неравенства
М1 < l < М2.
             При этом М1 называют нижней границей (НГ), а М2- верхней
границей (ВГ) действительныхкорней многочлена на f(x).
             Для нахождения НГ и ВГ существует несколько способов.             Решим эту задачу, используя ряд теоретических положений.             В теории многочленов доказан ряд формул для нахождения НГ и ВГ действительныхкорней многочлена f(x) .
             А) Во-первых, можно воспользоваться формулами ,  
, где А – наибольшая из абсолютных величин коэффициентов,
а0старший коэффициент многочлена f(x) .
             В нашем случае имеем: А = 10, а0 = 1; отсюда получаем ВГ = 11,
НГ = –11,то есть действительные корни многочлена на f(x)  заключены в
промежутке (–11; 11).
             Во-вторых,  , где m – индекс первого отрицательного
коэффициентамногочлена f(x) = а0хn + а1хn–1 +…+ аn–1х + аn, В – наибольшая из
абсолютных величин его отрицательных коэффициентов (при этом надо иметь
ввиду, что а0 > 0). В нашем примере m = 4, В = 5, а0= 1.
Значит, 
             Для нахождения НГ этим способом достаточно вместо х подставить
(–х) ивоспользоваться следующим правилом:НГ действительных корней
многочлена f(x) равна ВГ действительных корней многочлена f(–x), взятой
спротивоположным знаком.
             В нашем случае f(–x) = –х5 + 5х4 – 10х3 + 5х – 3.
Так как а0 = –1 < 0, то умножим f(–x) на число (–1), что не измениткорней
многочлена f(–x) и, значит, не изменятся границы корней:
–f(–x) = х5 – 5х4 + 10х3 – 5х + 3.
Теперь имеем: а0 = 1, m = 1, В = 5 и ВГ = 1 + 5 = 6 (под корнем 1-ой степени
будемпонимать само это число). Следовательно, для данного многочлена
f(x)  имеем НГ = –6.
             Итак, корни действительные многочлены f(x) заключены в интервале
(–6; 3).
             Б) Метод Ньютона основан на утверждении:
«если при х = с многочлен f(x)  и все его последовательные производные f I(x), 
 f II(x), …, f(n) (x) принимает положительные значения, то число cслужит
верхней границей положительных корней».
             В нашем случае:
f(x) = х5 + 5х4 + 10х3 – 5х – 3;
f I(x) = 4 + 20х3 + 30х2 – 5;
f II(x) = 20х3 + 60х2 + 60х;
f III(x) = 62 + 120х + 60;
f IV(x) =120х + 120;
f V(x) = 120.
Вполне очевидно, что при х = 1 многочлен f(x)  и все его производные
принимаютположительные значения. И, значит, х = 1 – ВГ положительных
действительныхкорней.
             Теперь рассмотрим вспомогательный многочлен 
f(–x) = –х5 + + 5х4 – 10х3 +5х – 3. Поскольку старший коэффициент
отрицателен, то будем рассматривать
 –f(–x) = х5 – 5х4 + 10х3 – 5х + 3.
(–f(–x))I = 4 – 20х3 + 30х2 – 5.
(–f(–x))II = 20х3 – 60х2 + 60x.
(–f(–x))III = 60х2 – 120x + 60.
(–f(–x))IV = 120x – 120.
(–f(–x))V = 120.
Вполне очевидно, что при х = 2 многочлен (–f(–x))  и всего производные
положительны. Это означает, что х = 2 – ВГ положительных действительных
корней.И, значит, х = –2 – НГ отрицательных действительных корней.
             Итак, действительные корни многочлена f(x)  заключены в
интервале (–2; 1).
             Сопоставляярезультаты, заключаем, что наиболее хороший результат,
несмотря нагромоздкость, дает метод Ньютона.
             Замечание.Еще раз подчеркнем, что для указания границ
действительных корней многочлена f(x)  достаточно уметь находить лишь ВГ
положительных его корней.
             Пусть f(x)  - многочлен степени n и N0есть ВГ его положительных
действительных корней.Рассмотрим вспомогательные многочлены
.
Находим ВГ их положительных корней. Пусть это будут числа
7N1, N2, N3. Доказано, что это НГ положительных действительных корней;
(–N2) – это НГ отрицательных действительных корней; 
это ВГ отрицательных действительных корней.
 

                              Copyright © 2008-2009 Овчинников А.В.  Филиал КГПУ. Все права защищены.

 

Закрыть