Образцы решений основных задач

§ 3. Многочлены над числовыми полями

                Задача 31. Пользуясьтеоремой Штурма, отделите действительные
корни многочлена f(x).  
 
                 Решение.  
    Отделить корни многочлена – это значит найти такие проме-жутки, в
каждом из которых находится по одному действительному корню данного
многочлена. Найдем сначала верхнюю и нижнюю гра-ницы действительных
корней f(x). Применяя формулу
находим, что корни многочлена f(x) заключены в проме¬жутке (–4; 8).
    Теперь для многочлена f(x) составим систему (много¬членов) Штурма. Первым и
вторым многочленом этой системы будут служить соответственно сам многочлен
f (x) и его производная f (x) = 4x3 – 6х2 – 14х + 8 = 2(2х3 – 3х2 – 7х + 4).
    Для отыскания третьего многочлена разделим с остатком f(x) на f '(x).
Так как в дальнейшем нас будут инте¬ресовать лишь знаки значений многочленов
Штурма, то сами многочлены, а также все промежуточные многочлены в
процессе деления можно умножать на любые положительные числа.
Учитывая это, мы во избежание дробных коэффициентов будем делить 2 f(x) на  :

 

Обозначим полученный «остаток» от деления через r1(x). Тогда искомый
многочлен Штурма f(x) будет равен –r1(x), т. е.
f1(x) =17x2 – 17х – 8.
    Для отыскания следующего многочлена Штурма разделим
на f1 (x):

Следовательно,    f2(х) = 43х – 30. Разделим теперь 43 f1 (x) на f2 (x):

Получим остаток , который очевидно, отрицателен(его абсолютная величина нас не интересу­ет). Поэтому будем считать, что f3 = 1.
             Итак, имеем следующую систему Штурма:

f(x)= х4 – 2х3 – 7х2 + 8х + 1,

f '(x) = 2(2х3 – Зх2 – 7х + 4)   (множитель 2 можно было бы опустить),

f1 (х) = 17х2 – 17х – 8,

f2(x) = 43x – 30,

f3 (х) = 1.

Сравнивая процесс нахождения этих многочленов с алгоритмом Евклида,
можно заключить, что (f(x), f '(x)) = 1. Следовательно, условие теоремы Штурма
выполнено.
                Пользуясьтеоремой Штурма, найдем число всех действительных
корней нашего многочлена, атакже число его положительных и число его
отрицательных корней. Результаты вычисленийзапишем в таблицу:

 

x

f(x)

f ¢(x)

f1 (х)

f2(x)

f3 (х)

Число перемен знаков

Число потерь перемен

знаков

–4

0

 

8

+

+

 

+

+

 

+

+

 

+

 

+

+

+

 

+

4

2

 

0

 

               

                Из таблицы видно, что привозрастании х от –4 до 8 потеряно
четыре перемены знаков (4 – 0 = 4). Следовательно,наш многочлен имеет
четыре действительных кор­ня. Кроме того, замечаем, что двепотери перемен
знаков происходят при переходе от –4 к 0 и две при переходе от 0к 8.
Следовательно, два корня отрицательны и два положительны. Так как все
4корня находятся в промежутке (–4; 8), то будем отделять их, придавая х
значения –3, –2, –1, 0, 1,   2, . . . ,пока не найдем промежутки для всех
четырех корней.

x

f(x)

f ¢(x)

f1 (х)

f2(x)

f3 (х)

Число перемен знаков

Число потерь перемен знаков

–3

–2

 

–1

0

 

1

2

 

3

4

+

 

+

 

+

 

+

 

+

+

 

 

+

+

+

+

 

+

 

+

 

+

+

 

 

+

+

 

+

+

+

+

 

+

+

 

+

+

 

+

+

4

3

 

3

2

 

2

1

 

1

0

 

                Из таблицы видно, что корни нашего многочлена находятся в

промежутках: (–3; –2), (–1; 0), (1; 2), (3; 4).

                Замечание. Заметим, что при решении этой задачи мыпроделали
много лишней работы, вычисляя значения всех многочленов системы Штурма.
Здесь, как и во мно­гих других случаях, достаточно было вычислить
лишь значения самого многочлена f(x), учитывая, что если числа f(а)  и f(b)
имеют разные знаки, то в промежутке (а; b) существует нечетное число
действительных корней, и если f(а) и f(b) – числа одного знака, то в
промежутке (а; b) или не содержится ни одного корня, илисодержится четное
число корней.
Исходя изэтого, при решении задачи на отделение корней можно поступать
следующимобразом. Сначала найти целочисленные границы корней (а; b),
затем найти знаки чисел

f(a), f(a + l), f(a + 2), . . ., f(b)

и выписать те промежутки (k; k + 1), для которых числа f(k) и
f(k + 1) имеют разные знаки. В каждом из этих промежутков находится
хотя бы по одному действитель­ному корню. Однако, следует помнить,
что при этоммы можем пропустить интервалы, в которых находится четное
число корней, атакже ошибочно заключить, что в промежутке (k; k + 1) находится
один действительный корень, тогда как на самом деле тамможет быть 3, 5, 7
и т. д. корней. Для того чтобы избежать подобных ошибок,надо предварительно
методом Штурма найти число всех действительных корнеймногочлена.
Полезно также найти отдельно число положительных и отрицательныхкорней.
Так, в нашей задаче в концах интервала (–3; –2) многочлен f(x) принимает
значения разных знаков [f(–3)>0, f(–2) < 0]. Следовательно, винтервале
(–3; –2) имеется хотя бы один действительный корень. То же самоеможно
сказать об интервалах (–1; 0); (1; 2); (3; 4). Поскольку общее числодействительных
корней многочлена f(х) равно четырем, то в каждом из промежутков
(–3; –2), (–1;0), (1; 2), (3; 4) заключается ровно по одному корню.

                Ответ: –3 < a1 < –2, –1 < a2 < 0, 1 < a3 < 2, 3 < a4 < 4.

                Б) f(х) = х5 3 – 10х2 + 2.

                Решение.

                Отыскивая границы корней,получим: дей­ствительные корни
многочлена f(x) содержатся в промежутке (–4; 5). Составим систему многочленов
Штурма:
                Пользуясь теоремой Штурма,найдем число действи­тельных корней
многочлена f(x). Предварительно заме­тим, что поскольку в интервале (5; + ¥)
действительных корней нет, то число перемен знаков всистеме Штурма при
х = 5 будет тем же самым, что и при любом другом значении х >5. Поэтому
вместо 5 можно подставлять лю­бое как угодно большое число. Этобывает
полезным, ибо по лемме о модуле старшего члена при достаточно
большомзначении х знак многочлена f(x) совпадает со зна­ком его старшего
члена. Мы будем вместо 5 условнописать (+¥). Аналогично, вместо (–4) будем
писать (–¥.

                Результаты вычислений запишем в таблицу:

x

f(x)

f ¢(x)

f1 (х)

f2(x)

f3(х)

f4(х)

Число перемен знаков

Число потерь перемен знаков

¥

0

 

+¥

+

 

+

+

0

 

+

 

+

+

 

+

 

 

4

3

 

1

                Из таблицы видно, что многочлен f(х) имеет 1 отрицательный
и 2положительных корня. Для их отделения будем вычислять значения
многочлена f(х) при целых значениях х из промежутка (–4; 5). Приэтом
вычисле­ние удобнее начинать с х = 0:

f(0) > 0, f(l) < 0, f(2) < 0, f(3) > 0.

                Дальше для положительных значений х вычислять f(х) не следует,
ибо уже из имеющихсяданных видно, что положительные корни (а их всего два)
находятся в интервалах(0; 1) и (2; 3). Теперь будем придавать х отрицательные
значения: f(–1) < 0. Учитывая, что f(0) > 0, заключаем: в промежутке (–1;0)
имеется действительный (отрицательный) корень. А так как многочлен имеетлишь
один отрицательный корень, то на этом работа заканчи­вается. Итак,
корнимногочлена f(x) заключены в интервалах (–1; 0), (0; 1),  (2; 3).

                В) f(x) = 4х4 – 12х2 + 8х – 1.

                Решение.

                Сначала устанавливаем, что корни многочлена f(x) находятсяв
промежутке (–3; 3). Далее составляем систему Штурма:

f0(х) = 4х4 – 12х2 + 8х – 1,

f1(х) = 8 (2x3 – 3x + 1),

f2(х) = 6x2 – 6x + 1,

f3(х) = 2x – 1,

f4(х) = 1.

 

                Пользуясьтеоремой Штурма, находим число положительных и
отрицательных корней.

x

f(x)

f ¢(x)

f1 (х)

f2(x)

f3(х)

Число перемен знаков

Число потерь перемен знаков

¥

0

 

+¥

+

 

+

+

 

+

+

+

 

+

 

+

+

+

 

+

4

3

 

0

                Из таблицы видно, что многочлен f(x) имеет 1 (4 – 3=1) отрицательный
и 3 положительных корня. Находим значения многочлена f(х): f(–3) > 0,
f(–2) > 0, f(–l) < 0, f(0) < 0, f(1) < 0, f(2) > 0, f(3) > 0.
                Замечаем, чтов промежутках (–2; –1), (1; 2) имеет­ся, по крайней мере,
по одному корню. Атак как всего действительных корней 4, то возможны случаи:
или в каком-либо изуказанных промежутков имеется три корня или в
каком-либо ином промежуткеимеется два корня. Для  выяснения  полной 
картины здесь необходимо для значений –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3 вычислятьне
только значения f(x), но и значения всехостальных многочленов системы
Штурма. Результаты запишем в таблицу:

x

f(x)

f ¢(x)

f1 (х)

f2(x)

f3(х)

Число перемен знаков

Число потерь перемен знаков

¥

–3

–2

–1

 

0

1

 

2

+

+

+

 

 

+

+

 

+

0

 

+

+

+

+

+

 

+

+

 

+

 

+

 

+

+

+

+

+

 

+

+

 

+

4

4

4

3

 

3

1

 

0

 

                Из таблицы видно, что корни находятся впромежутках
(–2;–1), (0; 1), (1; 2), причем в промежутке (0; 1) находятся два корня.
Чтобы отделить их, разделим промежуток (0; 1) на два
интервала и найдем  знак числа :

                А так как f(0) < 0 и f(1) < 0, то в каждом из промежутков

находится по одному корню.

                Таким образом, корни нашегомногочлена содержатся в

промежутках: (–2; –1), , (1; 2).

                Ответ: (–2; –1), , (1; 2).

                              Copyright © 2008-2009 Овчинников А.В.  Филиал КГПУ. Все права защищены.

 

Закрыть