Образцы решений основных задач

§ 3. Многочлены над числовыми полями

                Задача 32. Вычислите сточностью до 0,0001 корень
многочлена f(x) = x4 + 3x3 – 9x – 9 из промежутка (1; 2).
 
              Решение.
             Для приближенного вычислениядействительных корней многочлена
существует много различных методов. Одним изнаи­более простых и
распространенных методов является метод Ньютона (или касательных), который
обычно применяется совместно с методом линейной интерполяции (или хорд).
Эти методы позволяют постепен­ноприближаться к корню с двух сторон (слева
и справа). Применим методы хорд икасательных к решению нашей задачи.
             Для наглядности построимпримерный график многочлена на участке
(1; 2). Первая производная f ¢(х) = 4х3 + 9х2 – 9 = 4x3 + 9(x2 – 1) в промежутке
(1;2) принимает лишь положительные значения. Значит, многочлен f(x) в 
промежутке (1; 2) возрастает от f(l) = –14 до f(2) = 13. Кроме того, вторая
производная f "(х) = 12х2 + 18х в интервале (1; 2) также положительна.
Следовательно, график функции f (x) в этом интервале является вогнутой кривой.
Учитывая отмеченные факты, имеем примерный (весьма грубый) график
многочлена f(x) на отрезке (1; 2) (рис. 1).
             Из чертежа видно, что, проведя хорду АВ, мы получим приближение
b1 к корню x1 слева. Чтобы приблизиться к корню справа, нужно провести
касательную к кривой. Однакоздесь очень важно, че­рез какую точку или В)
еепроводить.
 
             При проведении касательнойследует пользоваться правилом:
касательную к кривой, соединяющей точки А и В,следует проводить в той
точкеили В), в которой значения многочлена f(x) и его второй
производной имеют одинаковыезнаки. При несоблюдении этого правила
вместо приближения к корню можно получитьудаление от него. В нашем случае
имеем: f(l) < 0, f(2) > 0, f "(l)> 0, f "(2) > 0. Отсюда видно, что f(x) и
f "(x) имеют одинаковые знаки при х=2. Следовательно, касательную следует
проводить через точку А. Теперь, отыскивая абсциссы a1 и b1 получим:
и
 
где а = 2, b = 1. Отсюда имеем:
 
              Так как верхнюю границу всегдаследует брать с избытком, а нижнюю
с недостатком, то положим а1 = 1,8; b1 = l,5.
              Теперь, применяя те жерассуждения относительно
точек А1(1,8; f(l,8)) и B1(1,5; f(l,5)), получим новые приближения к корню:
 и
 
              Подставляя сюда вместо a1 и b1 соответственно числа 1,8 и 1,5 и
округляя полученный результат,найдем: а2 =1,74; b2 =1,71.
             Поскольку нам нужно вычислитькорень с точностью до 0,0001,
а полученные результаты для а2 и b2совпадают лишь в цифре деся­тых долей,
то нужно находить новыеприближения а3 и b3:
             Отсюда можно заключить, что х1 » 1,7320 (± 0,0001).
    Замечания.
                1. При приближенном вычислениидействитель­ных корней методом
касательных и хорд в качестве подсобного сред­ства,облегчающего вычисления,
могут быть использованы «Таблицы значений многочленов»Иванова К. П.
                2. Иногда бывает полезно цифрудесятых долей корня вычислить
методом Руффини-Горнера, а затем уточнять кореньметодом каса­тельных и хорд.
 
             Ответ:   х1 » 1,7320 (± 0,0001).

                              Copyright © 2008-2009 Овчинников А.В.  Филиал КГПУ. Все права защищены.

 

Закрыть