Образцы решений основных задач

§ 3. Многочлены над числовыми полями

               Задача 34.Пользуясь критерием Эйзенштейна, докажите
неприводимость над полем рациональныхчисел Q следующих
многочленов: А) f(x) = 5х4 + 12х3 – 24х2 + 30х – 12;
          Б) f(x) = х5 + 5х + 9.
 
    Решение.
              А) При р = 3 старший коэффициент многочлена f(x) не делится на 3,
все остальные коэффициенты на 3 делятся, а свободный член, делясь на 3,
неделится на 32. Следовательно, применяя критерий Эйзенштейна к
многочлену f(x) при р = 3 заключаем, что многочлен f(x) неприводим в
кольце Q[x].
              Б) К многочлену f(x) = х5+ 5х + 9 критерий Эйзенштейна
непосредственноприменить нельзя, так как нельзя подобрать такого
простого числа р, на котороеодновременно бы делились 5 и 9. Но мы
можем положить х = у + 1 и тогда получим:
f (y + 1) = j(y) = у5 + 5у4 + 10у3 + 10у2 + 10у + 15.
Теперь же требования критерия Эйзенштейна выполняются при  р = 5.
              Следовательно j(y) и, тем самым, исходный многочлен f(x),
неприводимы над полем рациональных чисел Q.

                              Copyright © 2008-2009 Овчинников А.В.  Филиал КГПУ. Все права защищены.

 

Закрыть