Образцы решений основных задач

§ 3. Многочлены над числовыми полями

                Задача 35. Разложите указанные многочлены на неприводимые
множители над полями С, R и Q,
               А) f(x) = х5 + 5х3 – 6х2;
               Б) g(x) = 3х6 + 12х4 – 96х2;
               В) h(x) = х4 + 4х3 – 2х2 – 4х + 1.
 
              Решение.
А) f(x) = х5 + 5х3 – 6х2 = х23 + 5х + 6) =х23 – х2 + х2 – х + 6х – 6) =
= х2((х3 – х2) + (х2 – х) + (6х – 6)) = х22(х – 1) + х(х – 1) + 6(х – 1))=
= х2(х – 1) (х2 + х + 6) – это разложение многочлена f(x)  на неприводимые
множители над полем Q и R.
              Теперь находим корни трехчлена2+ х + 6). Вычисляем
дискриминант.
               D = 12 – 4 × 1 × 6 = 1 – 24 = –23.
              Отсюда получаем:
 
Следовательно,.
 
Таким образом, разложение многочлена f(x) на неприводимые множители
над полем С имеет вид:
.
             Б)
g(x) = 3х6 + 12х4 – 96х2 = 3х24 + 4х2 – 32) = 3х24 – 4х2 + 8х2 – 32) =
= 3х2(4 – 4х2) + (8х2 – 32)) = 3х2(22 – 4) + 8(х2 – 4)) = 3х2(2 – 4) (х2+ 8) =
= 3х2(2 + 2)(х – 2) (х2 + 8) – это разложение многочлена на g(x) на
неприводимые множители над полем Q и R.
 
Теперь имея
 
 
, получаем разложение многочлена g(x) нанеприводимые множители над
полем G.
 
 
             В)
h(x) = х4 + 4х3 – 2х2 – 4х + 1.
 
              Сразу отмечаем, что h(x) является многочленом с целыми
коэффициентами и,используя теорему о рациональных корнях многочлена,
устанавливаем, что х = 1 –один из корней этого многочлена.
              Тогда получаем: х4 + 4х3 – 2х2 – 4х + 1 = (х – 1)×g(x).
Коэффициента частного g(x) находим, например, по схеме Горнера:
Значит, х4 + 4х3 – 2х2 – 4х + 1 = (х – 1)×(х3 + 5х2 + 3х – 1).
Аналогично замечаем, что х3 + 5х2 + 3х – 1 обращается в нуль при
х = –1.
             Следовательно, х4 + 4х3 – 2х2 – 4х + 1 = (х – 1)×( х + 1)×f(x) .
Коэффициенты частного снова находим по схеме Горнера:
Отсюда получаем:
h(x) = х4 + 4х3 – 2х2 – 4х + 1 = (х – 1)×( х + 1)× (х2+ 4х – 1) –
это есть разложениемногочлена h(x) на неприводимые множители над полем Q.
Поскольку 2 + 4х – 1=х2 + 4х + 4 – 5 = (х + 2)2 – 5 = , то получаем
разложение многочлена h(x) на неприводимые множители над полями R и С:
h(x) = х4 + 4х3 – 2х2 – 4х + 1=(х – 1)×( х + 1)× .
 

                              Copyright © 2008-2009 Овчинников А.В.  Филиал КГПУ. Все права защищены.

 

Закрыть