Образцы решений основных задач

§ 3. Многочлены над числовыми полями

                Задача 37.Решите методом Феррари уравнение четвертой
степени х4 – 2х3 + 5х2 + 6х + 9 = 0.
 
             Решение.
 
             Перенесем в правую частьуравнения последние три его члена,
получим
х4 + 2х3 = 5х2 – 6х – 9.
             Выделим полный квадрат в левой части уравнения:
2)2 + 2 × х2 × х + х2 – х2 = –5х2 – 6х – 9,
или (х2 + х)2 = –4х2 – 6х – 9.
             Введемвспомогательную переменную у таким образом,
чтобы левая часть уравнения приэтом оставалась полным квадратом:
 2 + х)2 + 2 × (х2 + х)×у  + у2 – 2(х2 + х)× у – у2 = –4х2 – 6х – 9,
или  (х2 + х + у)2 = 2 × (х2 + х)×у  + у2 – 4х2 – 6х – 9,
или2 + х + у)2 = 2х2у + 2ху  + у2 – 4х2 – 6х – 9,
или2 + х + у2)2 = (2у – 4)х2 + (2у – 6)х + у – 9.  (1)
             Подберемзначение переменной у таким образом, чтобы и правая
часть стала полнымквадратом.
             Так как правая часть относительно переменной х имеет вид
Ах2 + Вх + С = 0,
то правая часть будет полным квадратом при условии В2 – 4АС = 0.
             В нашем случае В = 2у – 6, А = 2у – 4, С = у2 – 9. Отсюда получаем:
(2у – 6)2 – 4×(2у – 4)(у2 – 9) = 0,
или (2(у – 3))2 – 4 × 2(у – 2)(у + 3)(у – 3) = 0,
или (у – 3) × [2(у – 2) – 8 × (у – 2)(у + 3)] = 0.
              
Полученное уравнение есть уравнениетретьей степени относительной переменной у, его называют кубической резольвентой.Одним из корней этого уравнения является у = 3. Подставим это значениепеременной ув уравнение (1) иполучим:
2 + х + 3)2 = 2х2.
             Оноравносильно совокупности двух квадратных
уравнений
             Решаяэти квадратные уравнения, получаем все четыре корня
исходного уравнения:
 
             Ответ: {}.

                              Copyright © 2008-2009 Овчинников А.В.  Филиал КГПУ. Все права защищены.

 

Закрыть