Образцы решений основных задач

§ 3. Многочлены над числовыми полями

                Задача 38.Определите количество действительных корней
многочленов :  А) f(x) = х3 – 6х – 9;Б) g(x) = х3 – 12х + 16;
                          В) h(x) = х3 – 19х + 30.
               Решение.
               В кубическом уравнении х3 +px + q= 0
выражение  называется дискриминантом.
Доказано, что
               1) если D = 0, то уравнение х3 +px + q= 0 имеет два действительных
корня, из которых один двукратный;
               2) если D > 0, то уравнение х3 +px + q = 0 имеет один действительный
корень;
               3) если D < 0, то уравнение х3 +px + q = 0 имеет три действительных
корня.
               В нашем случае имеем следующие варианты.
               А) здесь р = –6, q = –9, поэтому
, следовательно, многочлен f(x)  
имеет один действительныйкорень.
               Б) здесь р = –12, q = 16, поэтому
следовательно, многочлен g(x) имеет двадействительных
корня, из которых один двукратный.
               В) здесь р = –19, q = 30 поэтому
следовательно, многочлен h(x) имеет три
действительных корня.
               Случай В) является особенным тем, что формула Кордано к
многочлену h(x) неприменима (корнями h(x) являются действительные числа
2, 3 и (–5)). Этотслучай в алгебре называется неприводимым(не
смешивать с неприводимостью многочленов).
              
                 Ответ:    
А) один действительный корень;
Б) два действительных корня, один из которых двукратный;
В) три действительных корня.
 
               Замечание. Если дано полное кубическое уравнение 
у3 + ау2 + by + с = 0, то с помощью подстановки  
его нужнопредварительно привести к виду х3 +px + q = 0, а затем уж
воспользоваться дискриминантом.

                              Copyright © 2008-2009 Овчинников А.В.  Филиал КГПУ. Все права защищены.

 

Закрыть