Title Here

 

1.5.1 Центр параллельных сил и его координаты

1.5.2 Центр тяжести площадей. Статические моменты площадей

1.5.3 Полярные и осевые моменты инерции

1.5.4 Осевые моменты инерции относительно параллельных осей

1.5.5 Опроеделение моментов инерции составных сечений с помощью таблиц нормального сортамента

 

1.5.1 Центр параллельных сил и его координаты

Установим одно важное свойство точки приложения равнодействующей двух параллельных сил.


Пусть в точках А и В на тело действуют параллельные силы F1 и F2(рис.а). Равнодействующая этих сил равна их сумме, параллельна им, направлена в ту же сторону, а ее линия действия делит прямую А В на части, обратно пропорциональные этим силам, т. е.

Повернем силы F1 и F2 на произвольный угол а, т. е. изменим их направление, сохранив параллельность. При этом равнодействующая останется равной их сумме, параллельной им, направленной в ту же сторону, а линия ее действия опять поделит прямую АВ на части, обратно пропорциональные величинам заданных сил. На рис.а точкой С обозначено пересечение линии действия равнодействующей с линией АВ. Эта точка называется центром параллельных сил, и ее положение не зависит от направления слагаемых сил.

Любое тело можно рассматривать как состоящее из большого числа малых частиц, на которые действуют силы тяжести. Все эти силы направлены к центру Земли по радиусу. Так как размеры тел, с которыми приходится иметь дело в технике, ничтожно малы по сравнению с радиусом Земли (значение его около 6371 км), то можно считать, что приложенные к частицам силы тяжести паллельны и вертикальны. Следовательно, силы тяжести отдельныхных частиц тела образуют систему параллельных сил. Равнодействующую этих сил называют силой тяжести.

Центр параллельных сил тяжести, действующих на все частицы тела, называется центром тяжести тела. Центр тяжести тела не меняет своего положения при повороте тела.

Вывведем формулы, позволяющие определять положение центра любой системы параллельных сил.

Пусть задана система параллельных сил F1,F2,F3,...Fn; координаты точек C 1,C2,C3,...Cn приложения этих сил известны (рис.б). Обозначим точку приложения равнодействующей буквой С, ее координаты обозначим . Как известно из предыдущего,.

Применим теорему о моменте равнодействующей (теорему Вариньона) относительно начала координат (точки 0):

откуда

но, т.к.

то

Поворачивая по аналогии заданные силы против часовой стрелки на угол (90-а) так, чтобы они стали параллельны оси х, и пользуясь теоремой о моменте равнодействующей, получаем формулу для другой координаты центра параллельных сил:

Положение (координаты) центра пространственной системы параллельных сил определяют по формулам:

Выведенные формулы используются для вычисления координат центра тяжести тела, имеющего конечное число отдельных частей правильной формы (цилиндров, кубов, параллелепипедов и т. п.). Тогда вместо подставляются значения Gi под которыми подразумевают силы тяжести отдельных частей тела, а под xi,yi,zi — координаты их центров тяжести.

Часто бывает, что тело нельзя разбить на конечное число отдельных частей, центры тяжести которых легко определяются. Тогда переходят от конечных сумм к интегрированию, и формулы для определения координат центра тяжести принимают вид:

где индекс V у интегралов показывает, что интегрирование происходит по всему объему тела.

Центр тяжести симметричного тела всегда лежит в плоскости симметрии. Плоскость симметрии разделяет тело так, что каждой материальной точке, находящейся по одну сторону плоскости, соответствует равная ей по массе точка по другую сторону, причем линия, соединяющая эти точки, перпендикулярна плоскости симметрии и делится ею пополам.

На этом основании центр тяжести отрезка прямой линии находится в его середине. Центр тяжести плоской симметричной фигуры (тонкой однородной пластинки) лежит на оси симметрии, т. е. на линии уу, делящей фигуру на две равные части (рис.в).

В однородном теле сила тяжести dG каждой элементарной части пропорциональна ее объему dV, т. е. dG=y*dV, где у - объемный вес (постоянная величина для однородного тела).

В общих формулах, вынося у за знак суммы в числителе и знаменателе и производя сокращение, получаем формулы для определения координат центра тяжести однородного тела или, как принято говорить, центра тяжести объема:


Наличие осей симметрии в однородном теле облегчают опре¬деление положения его центра тяжести. Например, центр тяжести призмы и цилиндра лежит на середине линии, соединяющей центры тяжести оснований. Центр тяжести шара совпадает с его геометрическим центром. Центр тяжести пирамиды лежит на прямой, соединяющей центр тяжести площади основания с противолежащей вершиной на расстоянии 1/4 высоты от основания (рис.а).


Центр тяжести конуса лежит на прямой, соединяющей центр основания с вершиной на расстоянии 1/4 высоты от основания (рис.б).

 

 

1.5.2 Центр тяжести площадей. Статические моменты площадей

 

Очень часто приходится определять центры тяжести различных сочетаний тел, представляющих собой геометрические плоские фигуры иногда весьма сложной формы.

Для плоских тел интегрирование производят по их площади и соответственно центр тяжести определяется только двумя координатами:

Вес каждой элементарной части dA для однородного плоского тела (рис.44) будет пропорционален площади. Обозначим Y' массу 1 м2, тогда dG — y'dA.

Разделив числитель и знаменатель в формулах (ЗЗа) на у', получим формулы для определения координат центра тяжести плоской фигуры в ее плоскости:


Произведение элементарной площади dA фигуры (рис.44) на расстояние ее центра тяжести до какой-либо оси называется статическим моментом этой части площади относительно данной оси. Так, статический момент площади dA относительно оси х будет dSx = dA-y, а относительно оси у будет dSy = dA-x

Сумма статических моментов всех частей фигуры называется статическим моментом площади фигуры относительно данной оси:

Статический момент площади выражается единицами длины в третьей степени (например, см^3, мм^3, м^3).

Координаты центра тяжести плоской фигуры можно выразить через статические моменты площадей:

Если начало координат расположить в центре тяжести площади, то статические моменты относительно осей х и у, проходящих через центр тяжести, будут равны нулю, так как в этом случае ус = О и ха — 0.

Следовательно, статический момент плоской фигуры относительно любой центральной оси равен нулю.

В заключение приведем (без выводов) сведения о координатах центров тяжести некоторых простых фигур, которые могут встретиться при решении задач. Центр тяжести параллелограмма, а также прямоугольника и квадрата совпадает с точкой С пересечения диагоналей (рис. 45, а). Центр тяжести треугольника лежит на пересечении медиан (рис. 45, б). Положение центра тяжести кругового сектора определяют по формуле (рис. 45, в)

где а — центральный угол сектора, рад.

Положение центра тяжести сегмента круга определяют по формуле (рис.45,г)

 

 

1.5.3 Полярные и осевые моменты инерции

 

В дальнейшем в расчетах на прочность мы будем встречаться еще с некоторыми геометрическими характеристиками сечений. Это так называемые моменты инерции сечений. Различают полярные и осевые моменты инерции. Полярным моментом инерции сечения называется взятая по всему сечению сумма произведений или интеграл элементарных площадей на квадраты их расстояний до некоторой точки О сечения (рис. 49, а)


Для поперечных сечений в форме круга или кругового кольца полярный момент инерции характеризует способность сопротивляться кручению и используется как геометрическая характеристика поперечного сечения при расчетах на кручение. Полярный момент инерции измеряется в единицах длины в четвертой степени (см4, мм4, м4).

Практический интерес представляет полярный момент инерции относительно центра тяжести сечения.

Величина полярного момента инерции круга определяется по следующей формуле:


Полярный момент инерции кольца равен разности полярных


Полярный момент инерции кольца равен разности полярных моментов инерции двух кругов диаметрами d^ и da (рис.49,б)

Осевым моментом инерции сечения называется взятая по всему сечению сумма произведений или интеграл элементарных площадок на квадраты их расстояний до некоторой оси, лежащей в плоскости рассматриваемого сечения. Так, относительно осей х и у (рис.49,в) осевые моменты инерции определяются следующими выражениями:


Величина осевого момента инерции служит характеристикой способности балки сопротивляться изгибу. Осевые моменты инерции, так же как полярные, всегда положительны и измеряются в единицах длины в четвертой степени (см4, мм4, м4).

В практических расчетах наибольший интерес представляют моменты инерции относительно так называемых главных осей, проходящих через центр тяжести сечения. В дальнейшем будем рассматривать только сечения, имеющие не менее одной оси симметрии.

Относительно одной из главных центральных осей момент инерции имеет наибольшее из всех возможных значений, а относительно другой — наименьшее. Ось симметрии сечения всегда является одной из главных центральных осей, а другая главная центральная ось ей перпендикулярна. В дальнейшем рассматриваются сечения, обладающие симметрией, что позволяет легко определять их главные центральные оси.

Для прямоугольного сечения (рис.50,а) осевой момент инерции определяется по формуле:


Чтобы определить осевой момент инерции круглого сечения относительно центральной оси х (рис.50,6), воспользуемся известной нам величиной его полярного момента инерции:


где:


получаем:

 

— осевые моменты инерции для круглого сечения относительно осей х и у.

Для круга моменты инерции относительно любых осей, проходящих через его центр, равны между собой, т. е. Jx = J. Поэтому

Откуда:

Аналогично для кольцевого сечения (см.рис.49,б)

 

 

1.2.4 Осевые моменты инерции относительно параллельных осей

Для вычисления осевых моментов инерции сложных сечений часто приходится пользоваться теоремой о моментах инерции относительно параллельных осей. Момент инерции сечения относительно оси, не проходящей через его центр тяжести, равен сумме момента инерции сечения относительно его центральной оси, параллельной данной оси, и произведения площади сечения на квадрат расстояния между осями.


Обозначим у расстояние элементарной площадки d от оси х, а уо — расстояние от параллельной ей центральной оси х0; расстояние между осями обозначим а; очевидно, что у = = уо + а (рис.51). Момент инерции рассматриваемого сечения относительной оси х интеграл — статический момент рассматриваемого сечения относительно той же оси х0, т. е.


а так как ось х0


Первый интеграл в правой части

представляет собой момент инерции относительно оси х0, т. е.

Второй проходит через центр тяжести рассматриваемой части сечения, то SX() = 0. Третий интеграл представляет собой площадь рассматриваемой части, т. е.

Таким образом, имеем

что и требовалось доказать.

Вычислим момент инерции таврового сечения относительно центральной оси х0 (см.рис.48,б). Расстояние до центра тяжести сечения от нижней кромки ус может быть определено по правилам. Разобьем тавр на два прямоугольника, как показано на рисунке; расстояния их центров тяжести от оси х обозначим а± и ог. Моменты инерции прямоугольников относительно собственных центральных осей, параллельных оси х, согласно формуле равны соответственно

и


Момент инерции всего сечения относительно оси х вычисляем по формуле

 

1.2.5 Определение моментов инерции составных сечений с помощью таблиц нормального сортамента

Многие конструктивные элементы часто изготовляют из стандартного проката — уголков, двутавров, швеллеров и др. Все размеры, а также значения моментов инерции площадей и некоторых других геометрических характеристик прокатных профилей приведены в таблицах нормального сортамента (ГОСТ 8239—72, ГОСТ 8340—72).

В сортаменте указаны номера профилей, масса погонного метра, размеры - и площадь поперечного сечения профиля, а также значения моментов инерции сечения. Кроме осевых моментов инерции в сортаменте приводятся величины так называемых радиусов инерции. Радиус инерции сечения определяют по формуле:


где J — осевой момент инерции; А — площадь сечения.

Как будет показано ниже, радиусы инерции cлужат важными характеристиками сечения при расчетах на устойчивость.

По известному радиусу инерции сечения и его площади можно вычислить соответствующий осевой момент инерции J=i^2*A.

Предыдущий раздел

Главная

Содержание

Следующий раздел