Title Here

 

2.2.1 Продольные силы при растяжении и сжатии. Построение эпюр продольных сил

2.2.2 Напряжение в поперечных сечениях растянутого (сжатого) стержня

2.2.3 Расчеты на прочность при растяжении и сжатии

2.2.4 Деформация при упругом растяжении. Закон Гука. Коэффициент Пуассона

2.2.5 Механические испытания материалов

 

 

2.2.1 Продольные силы при растяжении и сжатии. Построение эпюр продольных сил

 

Когда к стержню приложены по концам две равные противоположно направленные силы, действующие по его оси, стержень растянут или сжат (рис.57,а,б). Собственная сила тяжести стержня в большинстве случаев невелика по сравнению с действующими на него силами и ею можно пренебречь при определении напряжений и деформаций.


Определим внутренние силовые факторы в поперечных сечениях стержня, растянутого двумя равными силами F (рис.64,а). Рассечём стержень произвольным поперечным сечением I-I и, рассматривая равновесие нижней части (рис.64,б), найдем величину продольной силы:


В случае растяжения продольную силу N будем считать положительной, при сжатии — отрицательной. Изменение продольной силы по длине стержня удобно представить в виде диаграммы, называемой эпюрой продольных сил.

Эпюра продольных сил для стержня, рассмотренного выше, построена на рис.64,в. Она изображается прямоугольником, так как значение продольной силы одинаково во всех сечениях. Однако продольная сила может изменяться по длине стержня. Это имеет место, например, в случае, когда стержень подвергается действию системы внешних сил, приложенных не только к его торцам, но и в промежуточных сечениях.

 

 

2.2.2 Напряжение в поперечных сечениях растянутого (сжатого) стержня

 

При растяжении или сжатии осевыми силами стержней из однородного материала поперечные сечения, достаточно удале¬ные от точек приложения внешних сил, остаются плоскими и перемещаются поступательно в направлении деформации. Это положение называют гипотезой плоских сечений. На основании сказанного можно заключить, что все точки какого-либо поперечного сечения стержня находятся в одинаковых условиях и, следовательно, напряжения распределяются по сечению равномерно (рис.57).

Эти напряжения перпендикулярны поперечному сечению, а значит, являются нормальными напряжениями. Их значения найдем, разделив величину продольной силы N на площадь А,


Продольная сила N с помощью метода сечений всегда может быть выражена через внешние силы. В формулу следует подставлять алгебраическое значение N, т. е. со знаком плюс в случае растяжения и со знаком минус в случае сжатия.

 

 

2.2.3 Расчеты на прочность при растяжении и сжатии

 

Прочность стержня при осевом растяжении и сжатии обеспечена, если для каждого его поперечного сечения наибольшее расчетное (рабочее) напряжение не превосходит допускаемого ,

где N — абсолютное значение продольной силы в сечении; А — площадь поперечного сечения; —допускаемое напряжение при растяжении или сжатии для материала стержня.

С помощью формулы решается три вида задач (выполняется - три вида расчетов).

1. Проверка прочности (проверочный расчет). При заданных продольной силе N и площади поперечного сечения А определяют рабочее (расчетное) напряжение и сравнивают его с допускаемым непосредственно по формуле.

Превышение расчетного (рабочего) напряжения по сравнению с допускаемым не должно быть больше 5 %, иначе прочность рассчитываемой детали считается недостаточной.

В случаях, когда рабочие напряжения значительно ниже допускаемых , получаются неэкономичные конструкции с чрезмерным, необоснованным расходом материала. Такие решения являются нерациональными. Следует стремиться к максимальному использованию прочности материала и снижению материалоемкости конструкций.

Проверочный расчет деталей машин часто проводят в другой форме. Определяют фактический (расчетный) коэффициент запаса, исходя из известных значений предельного (опасного) напряжения и вычисленного значения рабочего (расчетного) напряжения , и сравнивают его с требуемым коэффициентом запаса [n], т. е. условие прочности выражают неравенством


2. Подбор сечения (проектный расчет). Исходя из условия, можно определить необходимые размеры сечения, зная продольную силу и допускаемое напряжение. Решив неравенство относительно А, получим


3.Определение допускаемой продольной силы. Допускаемое значение продольной силы в поперечном сечении стержня можно найти по формуле


Допускаемые напряжения назначаются на основе результатов механических испытаний образцов соответствующих материалов.

 

 

2.2.4 Деформация при упругом растяжеии. Закон Гука. Коэффициент Пуассона

 

При растяжении стержня его первоначальная длина равна l(рис.70), а длина после растяжения l1, приращение является полным изменением длины, стержня и называется удлинением стержня. Отношение удлинения к первоначальной длине стержня называется продольной деформацией; эта величина определяет удлинение каждой единицы первоначальной длины стержня. Так как величина равна частному от деления двух величин, каждая из которых имеет размерность длины, она выражается в отвлеченных числах или в процентах.

Из опыта установлено, что между продольной деформацией и нормальным напряжением существует прямо пропорциональная зависимость

или


Приведенная зависимость называется законом Гука (по фамилии английского ученого, впервые установившего ее в 1660 г.) и является основным законом сопротивления материалов. Он может быть сформулирован следующим образом: продольная деформация прямо пропорциональна соответствующему нормальному напряжению.

Величина Е, которая входит в формулу, выражающую закон Гука, является одной из важнейших физических постоянных материала. Она характеризует его жесткость, т. е. способность сопротивляться упругому деформированию. Эта величина называется модулем продольной упругости.

Величина Е измеряется в тех же единицах, что и напряжение, т. е. в Н/м^2 (Па), Н/мм^2 (МПа) — в Международной системе единиц (СИ) и в кгс/см^2 или в кгс/мм^2 — в технической системе единиц (МКГСС).

Подставив в формулу значения нормального напряжения и продольной деформации, получим

откуда определим изменение длины стержня


Выведенное соотношение показывает, что удлинение (укорочение) при растяжении (сжатии) зависит от величины продольной силы N, поперечного сечения А стержня, его длины l и модуля продольной упругости Е. Произведение ЕА называется жесткостью сечения стержня при растяжении (сжатии).

Закон Гука может быть представлен графически; если по оси абсцисс откладывать значения , а по оси ординат — значения , то зависимость представится прямой линией.

Прямая пропорциональность, т. е. линейная зависимость между и имеет место не при всех значениях напряжения. Как показывают опыты, после того, как напряжение превысит некоторое значение, называемое пределом пропорциональности, зависимость между и начинает отклониться от линейной.

Некоторые материалы — чугун, стекло, некоторые пластмассы имеют очень низкий предел пропорциональности и уже при небольших напряжениях обнаруживают значительные отклонения от закона Гука. Для стали и дерева (при растяжении и сжатии деревянных стержней вдоль волокон) предел пропорциональности достаточно высок.

При растяжении и сжатии изменяются и поперечные размеры стержня. Рассмотрим растянутый стержень.

Поперечный размер, первоначально равный а, уменьшается до а1. Изменение поперечного размера будет , а поперечная деформация будет равна

Экспериментально установлено, что отношение поперечной деформации к продольной деформации при упругом растяжении (сжатии) для данного материала величина постоянная. Обозначив абсолютное значение данного отношения, получим


Следует учитывать, что продольная и поперечная деформации всегда противоположны по знаку. Иными словами, при растяжении, когда продольный размер стержня увеличивается, его поперечный размер уменьшается, и, наоборот, при сжатии продольный размер уменьшается, а поперечный — увеличивается.

Величина называется коэффициентом поперечной деформации, или коэффициентом Пуассона.

 

 

2.2.5 Механические испытания материалов

 

Физико-механические свойства материалов изучают в лабораторных условиях путем нагружения образца до разрушения. Применяемые в настоящее время механические испытания материалов весьма многообразны. По характеру приложения внешних сил они разделяются на статические, динамические (или испытания ударной нагрузкой) и испытания на выносливость (нагрузкой, вызывающей напряжения, переменные во времени).

Испытания материалов можно классифицировать также по видам деформированного состояния. Различают испытания образцов на растяжение, сжатие, срез, кручение и изгиб. Наиболее широко применяют статические испытания материалов на растяжение. Объясняется это тем, что механические характеристики, получаемые при испытании на растяжение, позволяют сравнительно точно определить поведение материала при других видах загружения. Кроме того, этот вид испытаний наиболее легко осуществить.

По механическим свойствам материалы могут быть разделены на две основные группы: пластичные и хрупкие. У первых разрушению предшествует возникновение значительных остаточных деформаций; вторые разрушаются при весьма малых остаточных деформациях. Пластичными материалами в обычных условиях являются малоуглеродистая сталь, бронза, медь; хрупкими — некоторые специальные сорта стали, чугун.

Для наглядного представления о поведении материала при растяжении или сжатии строят кривую зависимости между величиной удлинения (укорочения) испытываемого образца и величиной вызвавших его сил, так называемую диаграмму растяжения или сжатия. Такая диаграмма может быть получена при испытании образца материала на специальных машинах, снабженных приборами, автоматически записывающими ход растяжения или сжатия образцов. По оси абсцисс на диаграмме откладывают абсолютное удлинение или укорочение l испытываемого образца, по оси ординат — соответствующее значение растягивающих или сжимающих сил F.

От диаграммы растяжения в координатах F и l можно, разделив все ее ординаты на А, а абсциссы на l, перейти к диаграмме в координатах и е, где


Первоначальная площадь поперечного сечения А и первоначальная длина расчетной части l образца являются постоянными, поэтому вид диаграммы растяжения в новых координатах (рис.а) такой же, как и в координатах F и l, но масштабы ординат и абсцисс будут соответственно отличаться.


Диаграмма растяжения более удобна и лучше отражает физические свойства материала, так как она не зависит от геометрических размеров испытываемого образца: длины l и площади поперечного сечения А.

До значения напряжения, соответствующего точке В диаграммы, имеет место линейная зависимость (прямая пропорциональность) между величинами относительного удлинения и напряжения, т. е. соблюдается закон Гука. Напряжение, соответствующее точке В диаграммы, как уже говорилось, называется пределом пропорциональности материала. При переходе за точку В справедливость закона Гука нарушается: удлинение растет интенсивнее, чем сила; прямая 0В переходит в кривую ВС, обращенную выпуклостью кверху. До точки С диаграммы увеличение растягивающей силы практически не вызывает остаточных деформаций образца. Материал деформируется упруго, и напряжение, соответствующее точке С, называется пределом упругости.

Предел пропорциональности и предел упругости для многих материалов, например для стали, оказываются настолько близки, что зачастую их считают совпадающими и отождествляют несмотря на физическое различие этих пределов.

Угол наклона начального участка ОB диаграммы растяжения пропорционален модулю продольной упругости материала


Чем круче этот участок, тем больше модуль упругости материала, тем он жестче.

Кривая ВС от точки С переходит в горизонтальную или почти горизонтальную прямую CD, что указывает на значительное возрастание удлинения при постоянном значении силы; материал, как говорят, течет. Напряжение, определяемое ординатой горизонтального участка диаграммы, при котором наблюдается текучесть материала, называется пределом текучести. При этом напряжении происходит значительный рост пластической (остаточной) деформации. Когда напряжения в материале достигают предела текучести, полированная поверхность образца тускнеет и постепенно делается матовой. На ней появляются линии, наклоненные к оси образца под углом примерно 45° (рис.б).

Эти линии носят название линий Людерса — Чернова, их появление свидетельствует о сдвиге кристаллов образца. За площадкой текучести CD следует пологий криволинейный участок диаграммы DE. Материал вновь начинает сопротивляться росту деформаций, но, естественно, зависимость между деформацией и напряжением уже не подчиняется закону Гука. Кроме упругого удлинения образец получает значительное остаточное удлинение. Участок DE диаграммы называют зоной упрочнения, материал здесь снова оказывает сопротивление деформациям.

Точка Е диаграммы определяет наибольшее для данного испытания условное напряжение, отнесенное к первоначальной площади сечения образца. Это наибольшее напряжение называют временным сопротивлением. На образце при этом значении силы образуется резкое местное сужение, так называемая шейка. Образец сильно удлиняется за счет пластической деформации шейки. Площадь сечения шейки уменьшается, и для доведения образца до разрушения требуется сила меньше fmax; это отмечает участок диаграммы, отклоняющийся вниз к оси абсцисс. Действительные напряжения в сечении шейки не уменьшаются, а все время растут; площадь сечения шейки уменьшается более интенсивно, чем растягивающая сила F. Точка G соответствует разрушению образца.

Характеристикой прочности при растяжении пластичных материалов, к каким относится малоуглеродистая сталь, считают предел текучести, так как появление больших остаточных деформаций рассматривается как нарушение прочности элемента конструкции.

Многие пластичные материалы дают диаграмму растяжения, на которой нет площадки текучести. Для таких материалов, в частности для среднеуглеродистых конструкционных сталей, вводят понятие об условном пределе текучести. Это напряжение, при котором относительное остаточное удлинение образца составляет 0,2 %. В технической литературе зачастую не разграничивают обозначения физического и условного пределов текучести, принимая для той и другой характеристики общее обозначение .

Диаграммы растяжения хрупких материалов значительно отличаются от приведенной выше диаграммы пластичного материала. В них отсутствует площадка текучести, разрушение образцов происходит при ничтожно малых остаточных деформациях без образования шейки. Хрупкие материалы плохо сопротивляются растяжению. Некоторые хрупкие материалы уже в начальной стадии нагружения, т. е. при малых напряжениях, обнаруживают отклонение от закона Гука. Однако в пределах тех напряжений, при которых хрупкий материал работает в конструкциях на растяжение, указанное отклонение невелико и при расчетах не учитывается.


За характеристику прочности хрупких материалов принимают наибольшее значение напряжения, соответствующее моменту разрыва. Это напряжение для хрупких материалов называют пределом прочности.

 

Предыдущий раздел

Главная

Содержание

Следующий раздел