Title Here

 

2.3.1 Чистый сдвиг

2.3.2 Основные понятия. Эпюры крутящихся моментов

2.3.3 Напряжения и деформации при кручении вала

2.3.4 Расчеты на прочность и жесткость при кручении

2.3.1 Чистый сдвиг

 

Экспериментально чистый сдвиг может быть осуществлен при кручении тонкостенной трубы (рис.а), поэтому деформация чистого сдвига отнесена к теме «кручение».

Рассмотрим элемент abed, вырезанный из тонкостенной трубы (рис.б).

При возникновении касательных напряжений элемент перекашивается. Если считать грань ad закрепленной, то грань bc сдвинется в положение b1c1. Прямые углы между гранями изменяются на величину . Угол , представляющий собой изменение первоначально прямого угла между гранями элементарного параллелепипеда, называется углом сдвига.

Касательные напряжения и угол сдвига , называемый также относительным сдвигом, связаны прямой пропорциональностью, т. е. законом Гука


Входящая в эту формулу величина G называется модулем сдвига. Эта величина характеризует жесткость материала при деформации сдвига. Так как выражается отвлеченным числом, то модуль сдвига G, как и модуль продольной упругости Е, имеет ту же единицу измерения, что и напряжение: МПа, Н/мм^2, кгс/см^2.

Между модулем упругости Е и модулем сдвига G существует зависимость, которую приводим без вывода:

где — коэффициент поперечной деформации (коэффициент Пуассона).

Приведенные соотношения между G и E подтверждаются опытами.

 

2.3.2 Основные понятия. Эпюры крутящихся моментов

 

На кручение обычно работают брусья круглого поперечного сечения, например валы и витки цилиндрических пружин.


Кручение возникает при нагружении бруса парами сил, расположенными в плоскостях, перпендикулярных продольной оси бруса (рис).

Моменты этих пар Мвр называют вращающими моментами. Их алгебраическая сумма равна нулю, если вал находится в равновесии и вращается равномерно. Величину вращающего момента Мвр можно вычислить по передаваемой мощности Р и частоте вращения n


Эта формула дает величину момента в Н*м, если мощность выражена в Вт, а частота в об/мин.

Момент внутренних сил относительно продольной оси бруса называют крутящим моментом Мk. При кручении в поперечных сечениях бруса возникает один внутренний силовой фактор — крутящий моментМk. Он определяется при помощи метода сечений.

Когда вращение от двигателя передается при помощи передаточного вала нескольким рабочим машинам, крутящий момент не остается постоянным по длине вала. Характер изменения крутящего момента по длине вала наиболее наглядно может быть представлен эпюрой крутящих моментов. Рассмотрим построение такой эпюры для вала, на котором закреплено несколько шкивов (рис.а);

шкив I получает вращение от двигателя, шкивы II, III и IV передают его станкам. Моменты, передаваемые каждым шкивом на вал, вычисляют по формуле . Направление момента М1 противоположно направлению моментов М2 М3 и М4. При установившемся движении (равномерном вращении вала), пренебрегая трением в подшипниках, получаем из условия равновесия вала:


Крутящий момент изменяется в сечениях вала, передающих внешние моменты от шкивов. Разделим вал на три участка (рис.а) и определим крутящие моменты в поперечных сечениях каждого из них. Крутящий момент в любом поперечном сечении первого участка между шкивами II п I уравновешивает момент внешней пары М2, действующий на левую отсеченную часть, т. е. Mk1=M2

При рассмотрении правой части из условия ее равновесия мы получили бы, естественно, тот же результат:

Аналогично вычисляется крутящий момент в поперечных сечениях на втором участке вала между шкивами I и III

, а на третьем участке между шкивами III и IV

Итак, крутящий момент в каком-либо поперечном сечении вала численно равен алгебраической сумме моментов внешних пар, действующих на вал в плоскостях, перпендикулярных оси вала, и приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения. Эпюру крутящих моментов строят аналогично эпюре продольных сил, откладывая от горизонтали (рис.б) ординаты, пропорциональные крутящим моментам в поперечных сечениях соответствующих участков вала.

Знак крутящего момента в поперечном сечении вала определяется исходя из направления внешних моментов. Крутящий момент положителен, когда внешние моменты вращают отсеченную часть по часовой стрелке, если смотреть со стороны проведенного сечения.

Положительные ординаты эпюры крутящих моментов откладывают вверх, отрицательные — вниз от горизонтальной линии, называемой осью, или базой, эпюры.

 

 

2.3.3 Напряжения и деформация при кручении вала

 

Выведем формулы для определения деформаций и напряжений, возникающих при кручении валов. Для наиболее часто встречающихся валов круглого и кольцевого сечения при кручении поперечные сечения сохраняют плоскую форму, а радиусы этих сечений, поворачиваясь, не искривляются.

Приведенный ниже вывод базируется на этих предположениях и справедлив, соответственно, только для валов круглого и кольцевого сечения. Рассмотрим элемент вала (рис.а) длиной l, причем крайнее левое сечение этого элемента будем считать условно неподвижным, что эквивалентно определению перемещений относительно этого сечения. Нетрудно показать, что рассматриваемый элемент испытывает деформацию сдвига. Действительно, любая образующая наружная АВ или внутренняя ЕС смещается при кручении и возникают перекосы, определяемые углами сдвига Ymax для образующей АВ или Y для образующей ЕС (рис.а). При этом радиус крайнего правого сечения OB поворачивается в положение ОВ1 на некоторый угол ф, называемый углом закручивания. Учитывая малость деформаций и выражая ВВ1 и CC1 как дуги окружностей, легко определить соотношения между углом сдвига Ymax или Y и углом закручивания ф:

откуда

или получим


Таким образом, угол сдвига в поперечном сечении прямо пропорционален расстоянию от оси вала р. Величина ф/l, определяющая относительный угол закручивания или угол на единицу длины, для каждого сечения вала является постоянной, так как выражается через постоянную значения Ymax и r

Сдвиг отдельных элементов вала сопровождается возникновением в его поперечных сечениях касательных напряжений, которые могут быть определены по закону Гука для сдвига:

или

т. е. касательные напряжения в поперечном сечении меняются по длине радиуса по линейному закону. Сдвиг в поперечных сечениях при кручении происходит по направлению касательных к окружностям, поэтому направление касательного напряжения в какой-либо точке течения перпендикулярно к соответствующему радиусу (рис.б).


Зная закон распределения касательных напряжений по поперечному сечению бруса, можно определить их величину в зависимости от крутящего момента, возникающего в данном поперечном сечении.

Если dA — площадь элементарной площадки (см.рис.б), то элементарная внутренняя сила на этой площадке, расположенной на расстоянии р от оси бруса, rdA, а ее момент относительно оси бруса равен rdAp.

Сумма моментов всех элементарных внутренних касательных сил, возникающих в поперечном сечении, представляет собой крутящий момент Мк в данном сечении и определяется интегралом, взятым по всей площади


Выражая т через и вынося затем постоянный множитель за знак интеграла, получаем


Этот интеграл, как известно из предыдущего , представляет собой полярный момент инерции сечения

 

Таким образом,, откуда

и соответственно


Выведенная формула определяет касательное, напряжение в любой точке поперечного сечения при кручении вала круглого поперечного сечения. Напряжения в точках, близких к оси вала, малы, поэтому для уменьшения его массы иногда удаляют внутреннюю часть и делают его полым — с кольцевым сечением. Наибольшего значения достигают напряжения в поперечном сечении в точках у поверхности, т. е. в точках, наиболее удаленных от его оси.

Отношение Jp/r = Wp называют полярным моментом сопротивления сечения.

Полярный момент сопротивления круга вычислим, разделив величину Jp на радиус г = 0,5d,


Аналогично для кольцевого сечения

где

Определим угол закручивания бруса, изображенного на рис.а. Исходя из уравнений и находим


Подставляя окончательно получаем


Величина угла ф выражается в радианах. Угол поворота можно определять лишь для участка бруса, имеющего постоянное поперечное сечение, при условии, что крутящий момент по длине этого участка не изменяется.

 

1.2.4 Расчеты на прочность и жесткость при кручении

 

Прочность при кручении бруса круглого сплошного или кольцевого поперечного сечения определяется условием


Эта формула может служить основой для трех видов расчетов.
1. Проверка прочности (проверочный расчет), когда известны наибольший крутящий момент и размеры поперечного сечения вала.
2. Подбор сечения (проектный расчет). Решив это неравенство относительно Wp, получим формулу для определения полярного момента сопротивления, а значит диаметра вала, исходя из условия прочности


3. Определение допускаемого крутящего момента, когда известны размеры сечения вала и задано допускаемое напряжение,


Кроме соблюдения условия прочности при проектировании валов требуется, чтобы вал обладал достаточной жесткостью, т. е. чтобы угол закручивания не превосходил некоторой заданной величины. Так, в зубчатых передачах при значительных углах закручивания валов зубья колес перекашиваются. Следствием может быть выкрашивание поверхностей зубьев и поломка передачи, поэтому необходимая жесткость валов практически всегда должна быть обеспечена. Обозначив через угол закручивания единичной длины вала, можно составить расчетную формулу для проверки вала на жесткость:


Eсли вычислить относительный угол закручивания в градусах на 1 м длины вала, получим


С помощью этих формул решаются три задачи, аналогичные задачам расчета на прочность:
1. Проверка жесткости (проверочный расчет), когда заданы крутяший момент, размеры и материал вала, а также допускаемый угол закручивания.
2. Подбор сечения по условию жесткости (проектный расчет). Из неравенства получим формулу для определения полярного момента инерции сечения вала, по условию жесткости


3. Определение допускаемого крутящего момента по условию жесткости

 

Предыдущий раздел

Главная

Содержание

Следующий раздел