Title Here

2.6.1 Понятие о продольном изгибе

2.6.2 Предел применимости формулы Эйлера. Эмпирические формулы для критических напряжений

 

 

 

2.6.1 Понятие о продольном изгибе

 

Вопрос об устойчивости приходится решать в случае сжатия стержня, размеры поперечного сечения которого малы по сравнению с длиной. При увеличении сжимающих сил прямолинейная форма равновесия стержня может оказаться неустойчивой, и стержень выпучится, ось его искривится. Это явление носит название продольного изгиба. Наибольшее значение сжимающей силы, до достижения которого прямолинейная форма равновесия стержня является устойчивой, называют критической силой. При сжимающей силе меньше критической стержень работает на сжатие; при силе, равной критической, стержень работает на сжатие и изгиб. Даже при небольшом превышении сжимающей нагрузкой критического значения прогибы стержня нарастают чрезвычайно быстро, и стержень или разрушается в буквальном смысле слова, или получает недопустимо большие деформации, выводящие конструкцию из строя. Поэтому критическая сила должна рассматриваться как разрушающая нагрузка.

Допускаемая сжимающая сила должна быть в несколько раз меньше критической. Это условие устойчивости прямолинейной формы равновесия стержня можно записать так:

где [F] — допускаемое значение силы, сжимающей стержень; Fкр — критическое значение сжимающей силы для рассчитываемого стержня; [nу] — нормативный (требуемый) коэффициент запаса устойчивости.

Для стержня с шарнирно-закрепленными концами значение


Очевидно, что при потере устойчивости стержень изгибается в плоскости наименьшей жесткости, т. е. каждое из его поперечных сечений поворачивается вокруг той из главных осей, относительно которой момент инерции минимален, поэтому в формулу Эйлера входит величина Jmin.

Шарнирное закрепление обоих концов стержня принято называть основным случаем продольного изгиба. При других способах закрепления концов стержня можно получить формулу для критической силы путем сопоставления формы изогнутой оси данного стержня с формой, которая получается у стержня с шарнирно-закрепленными концами.

Введем в формулу Эйлера приведенную длину стержня , соответствующую картине деформирования (рис.1,2), тогда она примет вид

где - коэффициент приведения длины (рис.3).



рис.1 рис.2

рис.3

Нормальное напряжение в поперечном сечении сжатого стержня, соответствующее критическому значению сжимающей силы, также называется критическим.

Определим величину критического напряжения исходя из формулы Эйлера

Отношение момента инерции к площади равно квадрату радиуса инерции: После подстановки этого значения формула критического напряжения может быть переписана в таком виде:

или


Отношение носит название гибкости стержня; как частное от деления двух величин, каждая из которых имеет размерность длины, гибкость выражается отвлеченным числом. Чем больше гибкость, тем меньше критическое напряжение, тем меньше критическая сила, которая вызовет продольный изгиб стержня.

 

 

2.6.2 Предел применимости формулы Эйлера. Эмпирические формулы для критических напряжений

Формула Эйлера справедлива лишь при больших гибкостях, превышающих некоторое предельное значение, при котором напряжения в стержне достигнут предела пропорциональности

откуда


На практике приходится иметь дело со сжатыми стержнями, гибкость которых меньше предельной. В таких случаях формулу Эйлера использовать нельзя. Для расчета сжатых стержней, когда формула Эйлера оказывается неприменимой, приходится пользоваться эмпирическими формулами.

Ф. С. Ясинский, обработав опытные данные ряда исследователей, дал следующую формулу для вычисления критического напряжения в стальных стержнях:

где а и b — величины, характеризующие качество материала.

Значения этих коэффициентов приводятся в технических справочниках.

Когда критическое напряжение, вычисленное по формуле , оказывается выше предела текучести , опасна не потеря устойчивости, а появление значительных остаточных деформаций. В этом случае под критическим напряжением следует понимать предел текучести, т. е. ; это имеет место для стальных стержней малой гибкости при .

На рис. приведен график, характеризующий зависимость критического напряжения от гибкости для стержней из стали СтЗ.

Стержни, для которых справедлива формула Эйлера, называют стержнями большой гибкости. Стержни, для которых справедлива формула Ф. С. Ясинского, называют стержнями средней гибкости. Наконец, в случае, когда критические напряжения, вычисленные по формуле Ясинского, превышают предел текучести, имеем стержни малой гибкости. Для них критические напряжения также приравнивают пределу текучести.

Для тех случаев, когда формула Эйлера неприменима и критическое напряжение определяют по эмпирическим зависимостям, допускаемую величину сжимающей силы вычисляют по формуле:

 

Предыдущий раздел

Главная

Содержание

Следующий раздел
 
Закрыть