Title Here

3.1 Основные понятия

3.2 Уравнение движения точки

3.3 Скорость точки

3.4 Ускорение точки

3.5 Виды движения точки в зависимости от ускорения

3.6 Поступательное движение твердого тела

3.7 Вращение тела вокруг неподвижной оси

3.8 Скорости и ускорения точек вращающегося тела

3.9 Кинематические графики и связь между ними

3.10 Понятие о плоскопараллельном движении твердого тела

 

 

3.1 Основные понятия

 

В кинематике изучается механическое движение материальных точек и твердых тел без учета причин, вызывающих эти двжения. Кинематику часто называют геометрией движения.

Механическое движение происходит в пространстве и во времени. Пространство, в котором происходит движение тел, рассматривается как трехмерное, все свойства его подчиняются системе аксиом и теорем эвклидовой геометрии. Время полагают ни с чем не связанным и протекающим равномерно.

Современное развитие физики привело к иным представлениям о пространстве и времени. Теория относительности, созданная величайшим ученым современности Эйнштейном, показала, что при скоростях, близких к скорости света (300 000 км/с), пространство и время зависят от скорости движения. При обычных скоростях указанная зависимость практически не обнаруживается и представления о пространстве и времени, установленные в классической механике, сохраняют силу.

В общем случае различные точки твердого тела совершают разные движения. Поэтому и возникает необходимость изучигь в первую очередь движение отдельных точек тела. Чтобы определить положение точки в пространстве, нужно иметь какое-то неподвижное тело или связанную с ним систему координатных осей, которую называют системой отсчета. Движение заданного тела или точки обнаруживается только путем сравнения с системой отсчета.

В природе не существует неподвижных тел и, следовательно, не может быть абсолютно неподвижных систем отсчета. Обычно условно неподвижной системой отсчета считают систему координатных осей, связанную с Землей. Рассмотрим для примера движение точки в какой-то условно неподвижной системе координат xyz.

Положение точки М в пространстве определяется тремя координатами. Эти координаты изменяются при переходе точки в другое положение. Кривая, которую описывает точка при движении в пространстве относительно выбранной системы отсчета, называется ее траекторией.

Траектории делятся на прямолинейные (например, движение точек поршня двигателя) и криволинейные (круговые — движение точек шкива, круглой пилы; параболические — движение жидкости при истечении из отверстия в боковой стенке сосуда и др.).

Движение точки в пространстве прежде всего определяется скоростью, которая характеризует быстроту и направление движения точки в данный момент времени.

В зависимости от скорости движение точки может быть равномерным и неравномерным. При равномерном движении скорость постоянна по величине, при неравномерном — переменна. Изменение скорости во времени характеризуется ускорением. Скорость и ускорение точки являются векторными величинами.

При изучении движения точки необходимо различать два важных понятия: пройденный путь (или перемещение) и расстояние. Расстояние определяет положение точки на ее траектории и отсчитывается от некоторого начала отсчета. Расстояние является алгебраической величиной, так как в зависимости от положения точки относительно начала отсчета и от принятого направления оси расстояний оно может быть и положительным, и отрицательным. В отличие от расстояния путь, пройденный точкой, всегда определяется положительным числом. Путь совпадает с абсолютным значением расстояния только в том случае, когда движение точки начинается от начала отсчета и совершается по траектории в одном направлении.

В общем случае движения точки путь равен сумме абсолютных значений пройденных точкой расстояний за данный промежуток времени:

 

 

3.2 Уравнение движения точки

 

В общем случае точка может двигаться по криволинейной траектории. Для изучения криволинейного движения точки необходимо уметь определить ее положение в назначенной системе отсчета (системе координат) в любой момент времени.

Уравнения, определяющие положение движущейся точки в зависимости от времени, называются уравнениями движения. Наиболее удобный способ задания движения точки — естественный способ. При этом задается траектория точки (графически или аналитически) и закон движения точки по траектории.


Пусть произвольная точка А перемещается по заданной траектории (рис.а). Принимая точку 0 за начало отсчета, уравнение движения можно представить в виде:


s = f (t),


где s — расстояние точки А от начала отсчета; t — время.

Положение движущейся в плоскости точки (рис.б) можно определить, если известны ее координаты х и у относительно системы двух взаимно перпендикулярных координатных осей Ох и Оу. При движении точки ее координаты изменяются с течением времени, следовательно, x и у являются некоторыми функциями времени и определяют движение точки:


Такой способ задания движения точки называется координатным. С помощью уравнений движения можно найти траекторию точки. Для этого из них нужно исключить параметр — время t — и найти зависимость между координатами точки у = f (х).

 

 

3.3 Скорость точки

 

Рассмотрим некоторые основные определения, важные для последующего изложения. Если точка за равные промежутки времени проходит равные отрезки пути, то ее движение называется равномерным.

Скорость равномерного движения v измеряется отношением пути s, пройденного точкой за некоторый промежуток времени, к величине этого промежутка времени


v = s/t
.

Скорость измеряется в единицах длины, деленных на единицу времени: м/с, см/с, км/ч и т. д.; 1 км/ч = 0,278 м/с, 1 м/с = = 3,6 км/ч.

Если точка за равные промежутки времени проходит неравные пути, то ее движение называется неравномерным.

Скорость неравномерного движения есть величина переменная и является функцией времени


v = f (t)
.
Рассмотрим точку М, которая перемещается по заданной траектории по некоторому закону s = f (t) (рис.а).

За промежуток времени t точка М переместится в положение М1 по дуге ММ1. Если промежуток времени t мал, то дугу можно заменить ее хордой и найти в первом приближении среднюю скорость движения точки


Средняя скорость направлена по хорде от точки М к точке M1. Истинную скорость найдем путем перехода к пределу при t—»О


При t—»О направление хорды в пределе совпадает с направлением касательной к траектории в точке М, т. е. значение скорости точки определяется как производная пути по времени, а направление ее совпадает с касательной к траектории в данной точке.


Если известны проекции скорости на оси координат, можно определить ее значение и направление (рис.б):

 

 

3.4 Ускорение точки

 

При движении по криволинейной траектории скорость точки может изменяться и по направлению, и по величине. Изменение скорости в единицу времени определяется ускорением.


Пусть точка М (рис.а) движется по какой-то криволинейной траектории и за время t переходит из положения М в положение M1. Расстояние, пройденное точкой, представляет собой дугу ММ1; ее длину обозначим s. В положении М точка имела скорость v, в положении M1 — скорость v1. Геометрическую разность скоростей найдем, построив из точки М вектор v1.

Скорость точки при перемещении ее из положения М в положение M1 изменилась и по величине, и по направлению. Среднее значение ускорения, характеризующего отмеченное изменение скорости можно найти, разделив вектор приращения скорости v на соответствующее время движения:


Переходя к пределу при t—»О получим истинное ускорение точки как векторную производную от скорости:


 

Найденное ускорение характеризует изменение численного значения скорости и ее направления. Для удобства ускорение раскладывают на взаимно перпендикулярные составляющие по касательной и нормали к траектории движения (рис.б)


Касательная составляющая совпадает по направлению со скоростью или противоположна ей. Она характеризует изменение модуля скорости и соответственно определяется как производная от функции скорости:


Нормальная составляющая перпендикулярна к направлению скорости точки. Она определяет изменение направления вектора скорости. Численное значение нормального ускорения определяется по формуле:

где r — радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке.

Составляющие и взаимно перпендикулярны, и поэтому значение полного ускоренияопределяется по формуле:

 

 

3.5 Виды движения точки в зависимости от ускорения

Рассмотрим возможные случаи движения точки и проанализируем выведенные выше формулы для касательного и нормального ускорений.

Равномерное прямолинейное движение характеризуется тем, что скорость движения точки М постоянна (v = const), а радиус кривизны траектории ее движения равен бесконечности (рис.а).

В этом случае касательное ускорение равно нулю, так как модуль скорости не изменяется (у = const),


Нормальное ускорение также равно нулю

Значит, и полное ускорение движения точки равно нулю

а = 0


.

Равномерное криволинейное движение характеризуется тем, что численное значение скорости постоянно (v = const), скорость меняется лишь по направлению. В этом случае касательное ускорение равно нулю, так как v = const (рис.б),

а нормальное ускорение не равно нулю, так как r — конечная величина.

Полное ускорение при равномерном криволинейном движении равно нормальному ускорению.

Неравномерное прямолинейное движение характеризуется тем, что численное значение скорости движения точки (рис.в)

изменяется, а радиус кривизны траектории движения точки r равен бесконечности. Поэтому касательное ускорение здесь не равно нулю:

а нормальное ускорение равно нулю:


Следовательно, полное ускорение точки при неравномерном прямолинейном движении равно касательному ускорению.

Неравномерное криволинейное движение (рис.г)

характеризуется тем, что численное значение скорости движения точки М изменяется, а радиус кривизны траектории ее движения — конечная величина. В этом случае касательное ускорение не равно нулю:

и нормальное ускорение также не равно нулю:


Следовательно, полное ускорение при неравномерном криволинейном движении складывается геометрически из касательного и нормального ускорений, т. е.


Когда значение касательного ускорения постоянно, движение точки называется равнопеременным. Равнопеременное движение может быть равномерно-ускоренным и равномерно-замедленным, в зависимости от того, увеличивается или уменьшается численное значение скорости. Ускорения можно определить через значения скорости в начале и в конце произвольного промежутка времени:

откуда


При равномерно-ускоренном движении ускорение считается положительным, а при равномерно-замедленном — отрицательным.

Перемещение точки при равнопеременном движении определяется по уравнению:


Примером равномерно-ускоренного движения может служить свободное падение тела. Ускорение свободного падения обозначается буквой g. Опытом установлено, что это ускорение составляет вблизи поверхности Земли в среднем 9,81 м/с^2.

 

3.6 Поступательное движение твердого тела

 

Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором всякая прямая, проведенная в этом теле, остается параллельной своему начальному положению.


Проведенная в теле прямая ВМ во время движения перемещается параллельно своему начальному положению.

Рассмотрим перемещение тела за бесконечно малый промежуток времени dt. При этом можно считать, что точки М и В перемещаются по прямолинейным и параллельным траекториям. За время dt они пройдут одинаковые пути ds. Следовательно, значения скорости этих точек будут одинаковы:

и направлены в одну сторону, т. е.


Аналогично доказывается равенство ускорений точек тела при поступательном движении:


Следовательно, при поступательном движении тела все его точки описывают одинаковые траектории и в любой момент времени имеют равные по модулю и параллельно направленные скорости и ускорения.

Поступательное движение тела вполне характеризуется движением одной его точки, которое может быть задано координатным или естественным способом. Однако поступательное движение может совершать только твердое тело, а не отдельная точка. Примерами поступательного движения служат движение поршня двигателя, движение вагона на прямом участке пути и т. п. Поступательное движение может быть прямолинейным и криволинейным.

 

3.7 Вращение тела вокруг неподвижной оси

 

При вращательном движении тела вокруг неподвижной оси все его точки, лежащие на оси вращения, остаются неподвижными. Остальные точки вращающегося тела описывают окружности вокруг неподвижной оси в плоскостях, перпендикулярных к оси, с центром на этой оси.

Рассмотрим тело, которое вращается вокруг оси Oz.

Плоскость вращающегося тела, проходящая через ось 0z и совпадающая в начальный момент времени с плоскостью чертежа I, займет через промежуток времени t положение II и оба отмеченных положения плоскости составят угол .

Угол называется углом поворота тела. Угол поворота измеряется в радианах и соответствует определенному положению тела. Для определения положения вращающегося тела в каждый данный момент служит уравнение, выражающее угол поворота как функцию от времени:

Изменение угла поворота определяется угловой скоростью. Средней угловой скоростью вращающегося тела называется отношение приращения угла поворота ко времени t, в течение которого это приращение произошло:

Истинная угловая скорость вращательного движения тела равна производной углового перемещения по времени:

Угловая скорость измеряется в радианах в секунду, т. е. рад/с. Скорость при вращательном движении тела определяется частотой вращения n, об/мин. Связь между угловой скоростью и частотой вращения можно установить следующим образом. За один оборот вращающегося тела угол поворота составит 2П рад. За n оборотов в 1 мин угол поворота составит 2Пn.

Соответственно угловая скорость определится путем деления угла поворота за n оборотов на 60 с

Например, частота вращения вала электродвигателя n = 1400 об/мин, тогда угловая скорость:

Когда угловая скорость тела постоянна, вращение — равномерно. Угол поворота в этом случае определяется:

Когда угловая скорость переменна, тело вращается неравномерно.

Изменение угловой скорости в единицу времени определяется угловым ускорением, равным производной угловой скорости по времени:

Угловое ускорение измеряется в радианах, деленных на секунду в квадрате, т. е. рад/с^2.

При вращении тела вокруг оси с постоянным угловым ускорением происходит равнопеременное вращение. Уравнения равнопеременного вращения аналогичны уравнениям равнопеременного прямолинейного движения точки, только вместо линейных величин в них входят угловые величины. Выводятся эти уравнения тем же путем:

где — начальная угловая скорость (при t = 0).

Угловое ускорение — величина алгебраическая: при равнопеременном ускоренном вращении его считают положительным, поэтому абсолютное значение угловой скорости будет все время возрастать. При равномерно-замедленном движении угловое ускорение считают отрицательным, поэтому абсолютное значение угловой скорости уменьшается.

 

3.8 Скорости и ускорения точек вращающегося тела

 

Если тело вращается вокруг оси, то его точки перемещаются по окружностям (рис.а), радиусы которых r равны расстояниям точек от оси вращения.

Рассмотрим точку М, которая за время dt прошла путь ds = ММ1. В данном случае путь ds можно определить как произведение угла поворота на радиус окружности, т. е.

Линейная скорость определится как производная пути по времени:

Подставив вместо ds его значение по , получим:


Подставив в формулу для линейной скорости точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, значение частоты вращения в оборотах в минуту (об/мин), получим:

Касательное ускорение точки вращающегося тела определяется из выражения:

Нормальное ускорение точки равно отношению квадрата скорости к радиусу окружности:

Подставив в выражение нормального ускорения значение скорости v = ?r, получим:

Значение полного ускорения вычисляется как диагональ прямоугольника, построенного на составляющих ускорениях (рис.б).

Подставив значения касательного и нормального ускорений, получим:

Направление вектора полного ускорения точки вращающегося тела можно определить по углу ?, образованному этим вектором с радиусом:

 

 

3.9 Кинематические графики и связь между ними

 

Часто для наглядного представления движения точки пользуются графиками перемещения, скорости и ускорения в функции от времени в прямоугольных координатных осях.

Рассмотрим кинематические графики для равномерного движения. Независимо от того, является оно прямолинейным или криволинейным, мы имеем для него следующие уравнения:


Из этих уравнений следует, что график перемещения равномерного движения является прямой, отсекающей на оси ординат величину s0, т. е. величину перемещения точки в начале движения от начала отсчета (рис.а).


График скорости изображается прямой линией, параллельной оси абсцисс, так как скорость равномерного движения точки — постоянная величина v = const (рис.б).


Рассмотрим кинематические графики для равнопеременного движения. Каким бы ни было это движение — прямолинейным или криволинейным, — для него справедливы уравнения:


График перемещения равнопеременного движения является криволинейным — параболическим, так как он соответствует уравнению параболы (рис. а, б).

На оси ординат эти графики отсекают при t = О величины, соответствующие расстоянию в начале движения от начала отсчета s0.

График скорости изображается прямой, наклоненной к оси абсцисс (рис. в, г), и отсекает на оси ординат (при t = 0) величину начальной скорости v0.


График ускорения равномерно-переменного движения изображается линией, параллельной оси абсцисс (оси времени) — (рис. д, е.)


При равномерно-ускоренном движении график ускорения располагаем выше оси абсцисс. При равномерно-замедленном движении — ниже (рис. е). При равномерно-замедленном движении значение скорости убывает. Это наглядно видно из (рис. г). Возможен случай, когда скорость, уменьшаясь, достигает нулевого значения (точка М на рис. г). Затем скорость изменяет свой знак и по абсолютному значению начинает увеличиваться. Здесь по существу происходит переход равномерно-замедленного движения в равномерно-ускоренное. Именно такое явление и происходит для случая, изображенного на (рис. б, д) при t = tA, т. е. при изменении алгебраического знака скорости.

Между кинематическими графиками существует определенная взаимосвязь. Так, для равномерного движения график скорости изображается линией, параллельной оси абсцисс, а график расстояния — прямой наклонной линией. Для равнопеременного движения график ускорения является прямой, параллельной оси абсцисс, график скорости — наклонная прямая, а график расстояний — параболическая кривая. Эта взаимосвязь графиков следует непосредственно из дифференциальных зависимостей, связывающих ускорение, скорость и расстояние:


Учитывая аналогию в уравнениях движения точки и уравнениях вращения тела, графическую интерпретацию можно использовать при исследовании вращательного движения, являющегося основным в технике. Здесь вместо расстояния будет фигурировать угол поворота, вместо скорости — угловая скорость, вместо ускорения — угловое ускорение.

 

3.10 Понятие о плоскопараллельном движении твердого тела

 

В случае плоскопараллельного движения все точки тела, расположенные на прямой, перпендикулярной к определенной неподвижной плоскости I (рис. 1),

рис. 1

совершают одинаковое движение. Поэтому изучение плоскопараллельного движения твердого тела может быть сведено к изучению движения плоской фигуры, образованной сечением тела плоскостью II, параллельной неподвижной плоскости I, при условии, что расстояние между плоскостями I и II постоянно.

Примером плоскопараллельного движения могут служить движение шатуна кривошипно-шатунного механизма, движение колеса на прямолинейном участке пути и др.

Рассмотрим перемещение плоской фигуры на (рис. 2) из положения I в положение II.

рис. 2

Положение плоской фигуры на (рис. 2. а) определяется отрезком M1B1. Этот отрезок можно переместить из положения I в положение II следующим образом: перенести его параллельно самому себе в положение М2В'2 (при этом фигура совершит поступательное перемещение), а затем повернуть отрезок вокруг точки М2 против часовой стрелки на угол ? (фигура при этом совершит вращательное движение и займет положение II). Можно поступить иначе: сначала сообщить фигуре поступательное перемещение до положения отрезка В2М'2, а затем повернуть вокруг точки В2 против часовой стрелки опять на угол ?.

Точку, вокруг которой фигура совершает поворот, называют полюсом. В первом случае полюсом была точка М2, во втором — В2. Очевидно, что за полюс может быть принята произвольная точка фигуры.

Итак, плоскопараллельное движение можно разложить на два составляющих движения: поступательное вместе с некоторым полюсом и вращательное вокруг этого полюса. Поступательная часть плоскопараллельного движения зависит от выбора полюса. Как видно из (рис. 2. а), поступательное перемещение М1М2 при выборе за полюс точки М2 не равно поступательному перемещению В1В2 при выборе за полюс точки В2.

Рассматривая вращательную часть плоскопараллельного движения, нетрудно установить, что угол поворота не зависит от выбора полюса.

Разложение плоскопараллельного движения можно использовать для определения скоростей точек тела. Так как плоскопараллельное движение фигуры может быть представлено как сумма двух движений — поступательного и вращательного, то скорость любой точки тела (рис. 2, б) равна геометрической сумме: скорости движения полюса М и скорости вращательного движения вокруг полюса М


Скорость вращательного движения определяется по формуле:

где ? — угловая скорость вращения; MB— радиус вращения точки В относительного полюса М.

Скорость вращательного движения направлена перпендикулярно к радиусу вращения MB. Так как вращательная часть движения не зависит от выбора полюса, то угловая скорость ? называется угловой скоростью плоской фигуры.

В плоскости движущейся фигуры при плоскопараллельном движении в данный момент времени всегда есть точка, скорость которой равна нулю. Действительно, примем за полюс точку В (рис. 2, в), восстановим из нее перпендикуляр к вектору скорости и отложим на этом перпендикуляре отрезок в сторону, где относительные вращательные скорости направлены противоположно скорости выбранного полюса . Абсолютная скорость точки С определится как геометрическая сумма двух равных и противоположно направленных векторов: скорости поступательного движения и скорости вращательного движения , причем:


Таким образом, абсолютная скорость точки С равна нулю. Эта точка С называется мгновенным центром скорости или мгновенным центром вращения плоской фигуры. Если эту точку С принять за полюс, то скорость произвольной точки М (рис. 2, в) определится по формуле:


но т. е. скорость любой точки плоской фигуры определяется как вращательная относительно мгновенного центра скоростей.

 

Предыдущий раздел

Главная

Содержание

Следующий раздел