Четные и нечетные функции

Определение 3. Функция у = f(х) называется четной, если для любого х из

                   области определения функции выполняется равенство     f(—х)=f(x). Функция f(х) называется нечетной, если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(-х)=-f(x).

Если функция у = f(х) такова, что хотя бы для одной нары значении х и —х оказалось, что f(—х)  f), и хотя бы для одной пары значений х и —х оказалось, что f(—х)  f(х) , то функция не является ни четной, ни

нечетной.

Из определения следует, что область определения Х как четной, так и нечетной функции должна обладать следующим свойством: если xX, то и

xX (т. е. Х симметричное относительно 0 множество).

Пример 1. Исследовать на четность функции: а) у=х2; б) у=х3: в) y=

а) Имеем f(x)=x2,f(-х)=(—х)22. Значит, f(—х)=f(х) для всех х, т.е.

функции является четной.

б) Имеем f(х)=x3 ,f(—х) = (—x)3=-x3. Поэтому f(—х) = —f(х) для всех х, т.е. функция является нечетной.

в) Имеем f(x)= . f(-x)==- Так как f(-x)f(x) и f(-x)-f(x)

то функция не является ни четной, ни нечетной.

Следующие теоремы (одна из которых доказывается, а доказательство другой предлагается провести самостоятельно) выявляют особенности графиков четных и нечетных функций,

Теорема 1. Если функция у =f(х). xX является четной, то ее

                     график симметричен относительно оси ординат.

Пусть М (х; f(x)) - точка графика рассматриваемой функции. Так как по условию функция четна, то, во-первых, (—х)Х, и во-вторых,f(—х)=f(х). Значит, точка М'(—х; f(x)) также принадлежит графику функции. Но точки      M и М' симметричны относительно оси ординат. Таким образом, график четной функции вместе с каждой своей точкой содержит точку, симметричную с ней относительно оси ординат. Поэтому график четной функции симметричен относительно оси ординат.

Теорема 2. Если функция у =f(х), хХ является нечетной, то ее график симметричен относительно начала координат.

 Периодические функции

Определение 4. Говорят, что функция f(x) имеет период Т, если для любого  значения х, при котором она определена, выполняются    равенства f(х—Т)=f(х) = f(х+T). Функция f(х), имеющая отличный от нуля период Т. называется периодической.

Из этого определения следует, что если функция f(x) с периодом Т определена в точке х, то она определена и в точках x+T, x-T.

Теорема 3. Если функция f(х) имеет период Т, то любое число, кратное Т (т. е. число вида kТ, k.), также является ее периодом.

 Докажем, например, что 2Тпериод функции f(x). Имеем

F(x)=f(x+T)=f((x+T)+T)=f(x+2T),

F(x)=f(x-T)=f((x-T)-T)=f(x-2T).

Аналогично доказывается, что f(х)=f(x+3T)= f(х—3T) и вообще f(x-kT)= f(x) = f(x+kT) для любого k. Значит, все числа вида kT(k) -периоды функции.

Таким образом, периодическая функция имеет бесконечное множество различных периодов. Если среди положительных периодов периодической функции существует наименьший, то его называют основным периодом этой функции; все остальные ее периоды кратны основному периоду.

Периодическая функция не всегда имеет основной период. Например, функция Дирихле периодическая: любое рациональное число является ее периодом. Однако среди положительных рациональных чисел нет наименьшего.

Графики периодических функций обладают следующей особенностью:

если Т -- основной период функции у == f(х), то для построения ее графика достаточно построить ветвь графика на одном из промежутков длины Т, а затем произвести параллельный перенос этой ветви вдоль оси х на ±Т, ±2Т,

±3Т, .... Чаще всего в качестве такого промежутка длины Т выбирают промежуток с концами в точках (-Т/2; 0) и (Т/2; 0) или (0; 0) и (Т;0)

Пример. Доказать, что функций у = {х} ({х}—дробная часть числа х.) является периодической.

 Очевидно, что числа х и х+k имеют одинаковую дробную часть, т. е. {х} ={х+k}. Значит, любое целое число и является периодом функции {х}, а основной период Т = 1.

                                       Монотонные функции

Определение 5. Функция у=f (х) называется возрастающей на промежутке X, если для любых двух точек x1,x2 этого промежутка таких, что x1<x2, выполняется неравенство f(x1)<f(x2) (иными словами, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции), функция у = f(x) называется убывающей на промежутке X, если для любых двух точек x1>x2, этого промежутка таких, что выполняется  неравенство f(x1)>f(x2) (иными словами, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции).

При движении вдоль оси абсцисс слева направо ордината графика возрастающей функции увеличивается, а ордината графика убывающей функции уменьшается.

Возрастающие и убывающие функции объединяются термином монотонные функции.

Геометрические изображения позволяют убедиться в справедливости следующих утверждений:

1.     Если функция у =f(х) четна и возрастает при х>0, то она убывает при х<0 .

2.      Если функция у=f(х) четна и убывает при х>0, то она возрастает при х<0.

3.     Если функция у = f(х) нечетна и возрастает при х>-0, то она возрастает и при х-<0.

4.      Если функция у = f(х) нечетна и убывает при x>0, то она убывает и при х<0.

5.      Монотонная функция не может быть периодической.

Примеры. I. Исследовать на монотонность функцию у = х3.

   Эта функция является нечетной; значит, достаточно провести исследование для промежутка на [0,+]. Если 0<x1<x2, то x31<x32. Значит, из x1<x2 следует f(x1)<f(x2) , т. е. функция возрастает при x. Тогда на основании свойства 3 она возрастает и при х<о. Наконец, так как для х1<0 и x2 >0 очевидно, что f(x1)<f(x2), то можно сделать вывод о том, что функция возрастает не только при х<0 и при х>0, но и на всей числовой прямой.

2. Исследовать на монотонность функцию y=x2+2.

 Данная функция четная. Если 0<x1<x2, то используя свойства числовых неравенств, получим x21+2<x22+2, т. е. f(x1)<f(x2). Значит, функция возрастает при х>0. Тогда, согласно свойству 1, она убывает при х<0.

                       Ограниченные функции

Определение 8. Функция у = f(x) называется ограниченной, если область ее значений является ограниченным множеством. Иными словами, функция у = f(x), xX, ограничена, если существует число г>0 такое, что |f(x)|<r для всех хХ.

Геометрически это означает, что график функции у =f!(x) целиком лежит внутри полосы, ограниченной прямыми у= —r, у=r . Например, ограниченной является функция у=.

Иногда понятие ограниченности рассматривают в несколько более узком смысле.

Определение 9. Функция у = f(x), хХ называется ограниченной на промежутке Х1Х, если множество значений функции на промежутке Х1 ограничено.

Например, функция у =x2-6x+8  ограничена на отрезке [2, 4]. Во всей же области определения эта функция

не ограничена (она ограничена снизу, но не ограничена сверху).

Назад