Обучение
моделированию при решении задач.
1.
Приемы моделирования при обучении решению простых задач.
Подготовительным этапом по формированию у ребенка умения
моделировать ситуацию задачи, а затем описывать ее с помощью
математических символов является обучение выполнению действий с
предметными совокупностями таким образом, чтобы действия ребенка
соответствовали смыслу ситуации, предлагаемой условием задачи. То
есть самым простым способом моделирования задачи является
моделирование на предметной наглядности. Этим способом учитель
может пользоваться на начальных этапах обучения решению задач,
поскольку в этот период особенно важно правильное понимание смысла
действия, а смысл действия удобнее всего проиллюстрировать
наглядно. Такое моделирование является доступным практически всем
детям, и они с удовольствием пользуются им самостоятельно. Если
при использовании этого приема моделирования исключается
возможность пересчитывания, такая работа является первым шагом на
пути обучения ребенка общему умению решать задачи.
Рассмотрим задачу:
В аквариуме плавали рыбки. Когда 3 рыбки вынули, там осталось
6 рыбок. Сколько рыбок было в аквариуме сначала?
Обычно такие задачи вызывают у детей затруднения, так как слова
«осталось», «вынули» ассоциируются у них с уменьшением, а потому
дети могут предложить такое решение: 6 - 3 = 3.
Наглядное предметное моделирование будет особенно полезным.
Сделать это можно следующим образом. Учитель складывает в
небольшую коробку стопку открыток с рыбками так, чтобы дети не
смогли их пересчитать.
Один ученик берет из коробки 3 открытки. Другой ученик
пересчитывает оставшиеся открытки. (Их 6)
Учитель спрашивает первого ученика:
- Сколько рыбок ты взял? (3)
- А сколько рыбок осталось? (6)
- Что нужно сделать, чтобы узнать, сколько их было в коробке
сначала? (Нужно 3 положить обратно в коробку.)
- Каким же действием мы обозначим то, что выполнили? (Сложением.)
Запишем действие: 6 + 3 = 9.
Проведенное таким образом предметное моделирование позволяет после
решения данной задачи провести проверку наиболее адекватным для
этого периода обучения способом: дети пересчитывают все открытки,
вынимая их из коробки, и убеждаются в правильности найденного
ответа. Предметное моделирование - лучший способ организации
деятельности учеников на этапе формирования понятия о смысле
арифметического действия. Однако пользоваться этим приемом
постоянно и на этапе формирования умения решать простые задачи не
стоит по причинам, которые были приведены выше. Целесообразнее
постепенно заменить предметную наглядность другим способом
моделирования простой задачи - схематическим моделированием
(упрощенный вариант графической модели).
Поскольку на этом этапе модель должна помочь учителю научить
ученика правильному ходу мысли при выборе действия, она должна
визуально соответствовать характеру этого действия, отражать
структурные связи между его компонентами (сложение – объединение
двух множеств, не имеющих общих элементов; вычитание - удаление
части множества).
В предлагаемом способе схематического моделирования схема,
соответствующая действию сложения, выглядит так:
Схема, соответствующая действию вычитания, выглядит так:
Такой рисунок предельно прост в исполнении, посилен для любого
ребенка, нагляден и, кроме того, вызывает у детей положительные
эмоции: дети с удовольствием составляют схемы из готовых деталей
на фланелеграфе (карточек с цифрами и стрелок из бархатной бумаги),
рисуют их на доске и в тетради без затруднения, поскольку для
этих рисунков достаточно того уровня умения, рисовать, которым
обладает даже самый слабо подготовленный ребенок шести лет.
Главным достоинством такой схемы с математической точки зрения
является то, что она визуально и по смыслу точно отражает характер
операций сложения (объединения) и вычитания (удаление части).
Такая схема удовлетворяет также всем требованиям, предъявляемым к
модели: отражает количественные соотношения ситуации, предлагаемой
в задаче, показывает в явном виде связи между данными и искомыми,
что позволяет ученику легко сориентироваться в выборе действия.
Объясняя свои действия при составлении схемы, ученик привыкает
описывать ход мысли словами, что является базой для формирования
умения анализировать задачу (а также развития словесно-логического
мышления).
Для формирования умения; составлять схему действия полезны такие
упражнения:
На полке стояли 6 книг, две книги девочка взяла. Осталось 4 книги.
Учитель предлагает детям записать этот рассказ с помощью
математических символов. Дети записывают равенство: 6 - 2 = 4.
- Я запишу этот рассказ по-другому. Как вы думаете, будет эта
запись соответствовать нашему рассказу? (Да.)
- Можно ли по этому рисунку (назовем его схемой) составить другой
рассказ - про морковки, про зайчиков, про солдат?
При обсуждении вариантов, предлагаемых детьми, их внимание
обращается на то, что все рассказы похожи друг на друга по
смыслу изменений (удаление части множества). Проводя работу со
схемой для разбора ситуации простых задач, очень удобно
пользоваться фланелеграфом: из отдельных деталей (чисел на
карточках и стрелок из бархатной бумаги) можно собрать схему
любой ситуации. Затем учитель спрашивает:
- Можно ли составит по этой же схеме такой рассказ: «Ваня нашел 2
гриба, а Петя - 4. Вместе у них 6 грибов».
Дети обычно сразу чувствуют разницу между этими рассказами и
обращают внимание на направление стрелок в схеме: схема,
соответствующая процессу объединения, не может содержать стрелок,
направленных наружу. Дети говорят обычно: «Нельзя, потому что
этот рассказ (на вместе). В процессе обсуждения составляется
схема другого вида, причем эта работа вызывает у детей большой
интерес, воспринимается как своеобразная игра. Схема, моделирующая
объединение, выглядит так:
Затем предлагается этот же рассказ записать с помощью
математических символов: 4 + 2 = 6.
Можно поступить иначе: предложить детям сразу две готовые схемы
на доске и спросить, какую они выберут к предложенному рассказу,
а затем обсудить разницу между схемами. После этого следует
проиллюстрировать тот же рассказ на наборном полотне, на
фланелеграфе.
Покажите, какие грибы нашел Ваня? Какие - Петя? Что нужно
сделать, чтобы узнать, какие грибы они собрали вместе?
(Надо к Петиным придвинуть Ванины или наоборот.)
Каким действием можно записать то, что мы выполнили? (Сложением.)
Так, упражняясь в течение нескольких уроков в переводе реальных
ситуаций на язык схем, а затем символов, и обратно, ученик
постепенно постигает при этом главное: смысл происходящих
изменений не зависит от способа описания, одно и то же событие
можно описать с помощью различных символов (цифр, знаков,
квадратиков, стрелок).
Основное внимание следует обратить на то, чтобы ученики
научились описывать ситуацию с помощью равенства, переводить
схему в равенство и равенство - в схему. Так, по схеме:
Можно составить два равенства, т. е. нужно ввести в схему знак
действия. В зависимости от того, где мы его поставим, получим
запись действия. Соответственно изменится и условие (и наоборот).
Например:
Дети очень легко и быстро усваивают данную символику и через 2-3
урока свободно читают любую из приведенных схем. Если работу по
формированию понятия о конкретном смысле действий сложения и
вычитания сопровождать не только выполнением упражнений с
предметными совокупностями, но и научить детей переводу реальной
ситуации на язык схематической записи, то в дальнейшем ввести
понятие «задача» можно также сразу с опорой на схему. Делается
это следующим образом. Учитель предлагает составить рассказы по
двум схемам:
Первая схема уже привычна, составить по ней рассказ детям несложно.
Вторая же схема вынуждает ввести вопрос: «Сколько? ...» и тогда
уже рассказ превращается в задачу. Поскольку структурные связи в
схеме не изменились, арифметическое действие, соответствующее
ситуации «Ha удаление», по-прежнему ассоциируется со схемой такого
вида. Знак действия на схеме можно обозначить:
При этом знак действия должен появляться на схеме только после
расстановки стрелок: стрелка ведет за собой знак. Поэтому, с
одной стороны, структура схемы соответствует математическому
смыслу ситуации (объединение, удаление, увеличение на ...),
а с другой, - направляя ход мысли ребенка, помогает на следующем
шаге составить символическую (математическую) запись действия.
Рассмотрим задачу:
Дети посадили у школы 6 липок и 4 березки. Сколько всего деревьев
посадили у школы?
Обычно такие задачи не вызывают у детей затруднения, так как
слова «вместе», «всего» ориентируют их на объединение данных в
условии множеств предметов. Составляя на фланелеграфе или рисуя
на доске схему к такой задаче, учитель полностью предоставляет
всю деятельность ребенку у доски. Независимо от того, насколько
хорошо ребенок пишет или читает, умеет ли писать на доске - числа,
стрелки и знаки используются изображенные на карточках, крепятся
они либо на фланелеграф, либо на доску. Учитель предлагает
ученику сначала обозначить числами 6 липок и 4 березки, а затем
спрашивает:
- Знаем ли мы, сколько всего деревьев посадили дети у школы?
(Нет, не знаем.)
Давайте обозначим эти деревья знаком
. А теперь покажите стрелками,
какие деревья посажены у школы. (Ученик ставит стрелки.)
- Какое же действие мы должны выполнить, чтобы ответить на
вопрос задачи? (Мы должны прибавить, сложить.)
На схему прикрепляется (рисуется) знак и она приобретает вид:
Записывается решение: 6 + 4 = 10 (д.).
Рассмотрим еще одну задачу:
Юра увидел на березе 7 грачей. Потом 3 грача улетели.
Сколько грачей осталось на березе?
Такая задача тоже не будет вызывать трудностей при составлении
схемы, так как в тексте имеется слово «улетели». Слова «улетели»,
«унесли», «продали» и т. п. прямо ориентируют детей на удаление
части, уменьшение исходного множества предметов.
Работу можно провести следующим образом: после чтения текста
задачи учитель предлагает ученику зафиксировать ее данные на
фланелеграфе (на доске).
- Сколько было грачей на березе? (7.)
- Обозначь число грачей цифрой. (Ученик крепит на фланелеграфе
карточку с числом 7.)
- Сколько грачей улетело? (3.)
- Обозначь число улетевших грачей. (Ученик ставит карточку с
числом 3.)
- Как показать на схеме, что эти грачи улетели? (Можно nоказать
это стрелкой.)
- Поставь стрелку так, чтобы было видно, что эти грачи улетели,
что их нет. (Ученик ставит стрелку.)
- Почему ты поставил стрелку так, а не наоборот? (Потому, что они
улетели, значит, стрелка должна показывать наружу, прочь от
семи...)
- Что спрашивается в задаче? (Сколько грачей осталось на березе.)
- Знаем мы, сколько их осталось? (Нет.)
- Как это показать на схеме? Какой символ поставить? (Ученик
ставит символ: )
- Покажи на схеме, какие птицы были на березе сначала.
(Ученик показывает на карточку с числом 7.)
- Покажи птиц, которые улетели.
(Ученик показывает на карточку с числом З.)
- Покажи птиц, которые остались, как они у нас обозначены?
(Ученик показывает на карточку со знаком вопроса.)
- Как можно показать на схеме, что мы будем искать число оставшихся
птиц? (Можно показатъ стрелкой.)
Ученик ставит стрелку, и схема приобретает вид:
- Как же узнать, сколько птиц осталось, если мы знаем, сколько их
было сначала и сколько улетело? (Надо отнять.)
На схему прикрепляется знак:
В таком виде схема является одновременно планом решения.
Записывается решение: 7 - 3 = 4 (гр.).
После решения этой задачи полезно выполнить такое изменение
схемы (карточки просто переставляются, а стрелки разворачиваются):
- Будет ли такая схема соответствовать этой задаче? (Нет, не
будет, потому что стрелки сходятся к вопросу, значит, задачу,
изображенную этой схемой, надо решать сложением.)
- Придумайте задачу или измените, условие этой же задачи так,
чтобы она соответствовали этой схеме, и решите ее. Запишите решение.
Дети предлагают свои варианты условия, затем записывают решение
и находят ответ: 7 + 3 = 10. Такое упражнение способствует
формированию обратного хода мысли, т. е. развивает гибкость мышления.
Приведенные выше задачи содержат прямое указание в тексте на
выбор действия. Рассмотрим методику обучения приемам
схематического моделирования на задачах других типов.
В классе было 10 мальчиков, а в этом году пришли новые мальчики,
и всего стало 12 мальчиков. Сколько новых мальчиков пришли в класс
в этом году?
В вопросе задачи отсутствует указание на выбор действия, а слова
«пришли», «всего стало» часто ассоциируются у детей с увеличением,
поэтому они могут предложить решить ее так: 10 + 12 = 22.
Чтобы предупредить эту ошибку, составление схемы нужно начинать
одновременно с разбором текста:
- Сколько мальчиков было в классе? (Десять.) Обозначим число
этих детей. (Ученик ставит карточку с числом 10.)
- Сколько новых мальчиков пришли? (Это мы не знаем.)
- Каким символом обозначим на схеме число новых мальчиков?
(Ученик ставит карточку со знаком вопроса.)
- Сколько мальчиков стало в классе? (Двенадцать.) Обозначим это
количество на схеме. (Ученик ставит карточку с числом 12 нuже
первых двух.) Схема приобретает вид:
Затем учитель просит ученика показать на схеме, сколько мальчиков
стало в классе и как обозначены новые дети. Ученик показывает на
соответствующие карточки с числами и символом (движение руки
ребенка от числа 12 к вопросу: ученик движением руки как бы
предваряет направление стрелки, и это движение рука уже будет
«помнить»).
- Как показать с помощью стрелки, что из всех мальчиков в классе
нам нужны только те мальчики, которые вновь пришли? (Ученик
ставит стрелку.)
- Как показать с помощью стрелки, что количество мальчиков,
которые раньше были в классе, уже известно и их учитывать не
нужно? Ученик ставит стрелку:
Если мы знаем, сколько мальчиков в классе теперь и сколько их
было раньше, можно ли узнать, сколько их пришло вновь? (Да, можно.
Надо отнять.)
На фланелеграфе крепится знак действия и записывается решение:
12 - 10 = 2 (м.).
Фактически последний вопрос дублирует схему, которая в таком виде
является планом решения, но он полезен, так как приучает детей к
грамотному построению вопроса «от данных».
Если учитель планирует самостоятельное решение задачи по схеме,
то после ее составления учащимся предлагается записать решение в
тетради. При этом учитель не задает вопроса, наводящего на выбор
действия, а учащиеся руководствуются только схемой. Пояснение
выбора действия проводится учащимися после записи решения.
Из коробки взяли 6 красных карандашей и 4 синих. Сколько
карандашей взяли из коробки?
Наличие в тексте слов «взяли» может сориентировать ребенка на
действие вычитания. Работа со схемой исключит эту ошибку.
Удобно использовать прием чтения текста по частям с
последовательным фиксированием данных. Учителю непривычна эта
рекомендация, поскольку методический стереотип действий требует
сначала прочитать задачу целиком, чтобы дети «представили
ситуацию». О возможностях детей этого возраста правильно
представить ситуацию по словесной модели мы говорили в
предыдущему параграфе. Используя прием «неполное чтение», учитель
экономит время урока и сразу после первого прочтения получает на
доске схему ситуации, с которой можно работать с опорой на
визуальное восприятие. Читаем с детьми текст только «дo первого
дaнного», его сразу фиксируем карточкой на фланелеграфе. Затем
читаем «дo второго дaнного», фиксируем его на фланелеграфе.
Читаем вопрос, фиксируем на фланелеграфе символ вопроса. Таким
образом, после первого прочтения на доске уже есть «каркас»
схемы. Анализ можно провести по этому «каркасу»:
- Что требуется узнать в задаче? Какой знак на схеме
означает все взятые карандаши?
- Покажите, какие карандаши взяли сначала? Где они теперь?
(Ребенок показывает рукой направление от числа 6 к знаку вопроса,
это направление закрепляется постановкой стрелки.)
- Покажите, какие еще карандаши взяли? Где они теперь?
(Аналогично ставится вторая стрелка.)
- Какое действие обозначено стрелками на схеме? Почему сложение?
(Стрелки сходятся к вопросу.)
Ставится знак действия и решение может быть записано самостоятельно.
Отметим еще одно преимущество такого подхода: поскольку читать
«за один раз» ребенку приходится очень маленький кусочек
буквально 3, 4 слова, к этой работе можно сразу привлекать
любого ребенка, даже плохо читающего - такой «кусочек» сумеет
прочитать и понять даже он. Таким образом, удается разорвать
«замкнутый круг»: для чтения задачи учитель обычно привлекает
сильных, хорошо читающих детей, в результате именно они каждый
раз дополнительно тренируются в чтении и осмыслении текста
задачи, хотя и так обычно хорошо с этим справляются.
Среди простых задач, решению которых обучаются учащиеся, большую
долю составляют задачи, в которых требуется либо увеличить
(уменьшить) множество на несколько единиц, либо сравнить два
множества для выяснения, которое из них больше (меньше) и на
сколько (разностное сравнение). Рассмотрим задачи этого вида.
Подготовительная работа к задачам такого вида обычно проводится
на предметной наглядности: поставь кружков на два больше,
чем квадратов, на 3 меньше... и т. д. В процессе выполнения
таких заданий учащиеся должны усвоить смысл понятий «больше на»
и «меньше на». Психологически трудность решения задач такого
вида заключается в том, что явно задано только одно множество,
второе же следует восстановить по его характеристическому
свойству: оно «больше данного нa...» (меньше на...). Поэтому,
выполняя задание «Положите на парту 3 квадрата, а кружков на 2
больше, чем квaдpaтов», следует основное внимание обращать на
первый этап этого сравнения: кружков надо сначала положить столько
же, сколько и квадратов, а потом увеличить их количество на 2
(столько же и еще 2).
В процессе выполнения таких заданий учащиеся усваивают, что
«увеличение нa» связано со сложением, а «уменьшение на» связано
с вычитанием.
Спустя несколько уроков вводятся схемы, соответствующие ситуациям
«уменьшение на» и «увеличение на». Для того чтобы процедура ввода
новых схем не была однообразной, их можно ввести через игру
«Математическая машина»:
В пустом квадратике помещаются числа, которые «машина»
уменьшает или увеличивает. Эти «машины» удобны на устном счете
при отработке вычислительных приемов: +1, -1, +2, -2...
При работе с такой схемой важно обсудить с учениками вопрос о том,
что стрелка в данном случае показывает на то число, которое надо
найти в результате. Это число обозначено символом:
Используя эти схемы, учитель предлагает задания: «Найдите
соответствующее число для 3, 2, 5 по заданному принципу».
Рассмотрим задачу, соответствующую ситуации «уменьшение на»:
В саду собрали 5 кг смородины, а малины на 2 кг меньше.
Сколько килограммов малины собрали в саду?
После чтения задачи ее данные фиксируются в схеме:
- Сколько собрали смородины? (5 кг.) Давайте это запишем (обозначим).
Ученик либо ставит на фланелеграфе карточку с числом 5, либо
делает на доске запись:
- Сколько собрали малины? (это мы не знаем.) Давайте обозначим на
схеме, что это нам неизвестно.
Ученик ставит карточку со знаком вопроса или рисует:
- Что требуется найти в задаче? (Сколько со6рали малины.) Покажите
стрелкой, что нужно найти:
- Что сказано в условии про количество малины? (Сказано, что
малины нa 2 кг меньше, чем смородины.)
Учитель показывает детям, как это дополнительное условие надо
писать над стрелкой:
Почему стрелка показывает на знак вопроса? (Потому что это у нас
малина, а ее на 2 кг меньше, чем смородины.)
Как найти; сколько собрали малины? (Надо отнять: 5 - 2.) Схему
можно дополнить знаком:
В таком виде схема выполняет роль плана решения. После записи
решения и ответа полезно провести дополнительную работу,
используя возможности работы со схемой.
Можно, например, предложить детям такую схему:
- Похожа ли задача, решаемая с помощью этой схемы, на предыдущую?
Чем эти задачи похожи, чем различаются?
Такое упражнение способствует формированию умения сравнивать:
находить общее и различное. Можно отметить, что дети легко
«расшифровывают» язык схем, им даже не требуются к этому времени
обучающие объяснения учителя, они сами легко догадываются о
смысле используемой схематической символики (что полностью
соответствует психологическому «портрету» шестилетки:
символизация окружающей действительности – характерное свойство
их восприятия и мышления).
Использование на задачах такого типа приема изменения данных
(следует изменять данное, записанное в квадратике, оставляя
неизменным характеристическое свойство, помогающее найти
неизвестное число) является подготовительным к формированию
понятия о функциональной зависимости. При выполнении такой работы
особенно важно обращать внимание детей на следующие моменты:
1) Число в «окошке» можно менять как угодно, если правило
нахождения неизвестного задано словами «Ha... больше».
2) Если правило задано словами «Ha ... меньше», необходимо
следить, чтобы уменьшаемое было не меньше вычитаемого
(фактически такая работа является исследованием области
допустимых значений).
3) Если задано правило, то всегда можно найти число,
соответствующее данному, и оно всегда будет больше на
(меньше на...) столько, на сколько указано в правиле.
Время от времени полезно предлагать детям задания, требующие от
них не только составления схем по текстовому условию или
ридумывания задач по предложенным схемам, но и задания на
классификацию с использованием схем.
Для этого учитель рисует на доске несколько схем, структурно -
различных, но с одинаковыми числами:
Детям по одной предлагаются тексты задач и по мере чтения
текстов им нужно выбрать схему, помогающую решить задачу,
объясняя при этом свой выбор.
1. У Вани было 3 тетради в клетку, а 5 в линейку. Сколько у него
было тетрадей? (Схемы а, г.)
2. У Вани было 5 тетрадей. 3 из них были в клетку, а остальные в
линейку. Сколько тетрадей было в линейку? (Схемы б, в.)
З. Папа купил тетради. 3 тетради он отдал Ване, 5 оставил себе.
Сколько тетрадей купил папа? (Схемы а, г.)
4. У Вани было 5 тетрадей в клетку, а в линейку на 3 меньше.
Сколько тетрадей было в линейку? (Схема е.)
Так как в схемах использованы одинаковые числа, для распознавания
подходящей к каждой задаче схемы ученик должен обращать внимание
на характер связей между данными искомыми. Умение обращать внимание,
прежде всего на характер этих связей является базой для
формирования общего умения решать задачи.
Рассмотрим последний вариант простых задач на вычитание.
Задачи на разностное сравнение двух множеств в учебниках относят
обычно на более поздний период, предлагая решать их значительно
позднее задач типа: «увеличить нa...», «уменьшить нa...», хотя
психологически они более просты для понимания: в них сравнивается
два явно заданных множества. Схема к ним выглядит так:
Основная трудность для учащихся при решении задач данного вида
заключается в том, что все они решаются с помощью действия
вычитания (хотя в вопросе может быть и «на сколько больше» и
«на сколько меньше»). Прежде чем приступить к решению таких задач,
учитель должен провести большую подготовительную работу с
привлечением предметного наглядного материала. Такую работу
следует проводить параллельно с подготовительной работой к
решению задач на увеличение и уменьшение числа на несколько
единиц, так как задачи этих видов являются взаимообратными.
Полезны такие упражнения с использованием модели числового луча
или числового ряда:
У мухи 6 ног, а у паука на 2 ноги больше. Сколько ногу паука?
Учитель предлагает показать на числовой оси отрезок,
соответствующий количеству ног у мухи. Ученик помечает его дугой.
- Что нужно сделать, чтобы показать на рисунке, что у паука ног на
2 больше? (Добавить еще 2 единицы.)
Ученик дополняет рисунок, показывая дугой еще 2 единицы.
- Сколько ног у паука? (8.)
Задача решена с опорой на модель числовой оси (или числовой ряд).
Ее решение фиксируется в записи: 6 + 2 = 8.
У кого ног больше: у двух собак или у одного паука?
Учитель предлагает провести аналогичную работу с использованием
числовой оси (или числового ряда).
Сравнивания длины отрезков числовой оси, дети записывают
решение: 4 + 4 = 8 - ног у двух собак; 8 = 8.
Ответ: ног одинаково у двух собак и у одного жука.
У кого ног больше у трех кур или у двух собак?
Соотнеся оба количества с полученными схематическими рисунками,
дети могут дать ответ на вопрос задачи:
(У двух собак ног больше.)
- Почему вы думаете, что у двух собак ног больше? (Их 8 отрезок
на оси длиннее.)
- На сколько их больше? (На 2.) Как и вы это определили? Ответы
могут быть разными: видно по рисунку, 8 больше 6 на 2,
8 это 6 и 2. Важно, чтобы выполнение заданий такого вида
сопровождалось работой с моделью. Дело в том, что к тому моменту,
когда начинают решать такие задачи, дети уже хорошо знают
состав числа и часто дают ответ автоматически, не задумываясь
над проблемой выбора действия. Образ процесса сравнения как
сравнения отрезков числовой оси (или числового ряда) будет
фиксироваться у ребенка и закрепляться как визуально, так и
через движение руки (по дуге или по оси), и закрепляться
записью действия. Такие упражнения являются подготовительными и
для введения схемы.
У клоуна б колец и 4 шляпы. На сколько колец больше, чем шляп?
После чтения (или во время чтения) задачи ученик, вызванный к
доске, фиксирует ее данные:
- Чего больше, колец или шляп? (Колец больше, их 6.)
- Давайте покажем стрелкой, что требуется найти, на сколько
колец больше. Ученик рисует стрелку и подписывает требование.
Схема приобретает вид:
- На сколько колец больше? (На 2.)
- Как нашли? (Отняли: 6 - 4.)
- С помощью какого действий решается данная задача?
(С помощью вычитания.)
Сама структура схемы уже не позволит ребенку бездумно выполнить
сложение, а заставить задуматься и вспомнить, как записать
сравнение чисел. Можно добавить к схеме знак:
В таком виде она выполняет роль плана решения.
Основной факт, который должны осознать дети, заключается в том,
что для нахождения результата при сравнении чисел используется
вычитание: Поэтому после решения данной задачи полезно предложить
следующее задание. Учитель рисует на доске схему:
и проводит, например, такую беседу:
- Могу ли я использовать к этой схеме условие предыдущей задачи?
(Да.)
- Можно ли поставить тот же вопрос к этой схеме?
(Нет стрелка показывает на меньшее число.)
- Как должен звучать вопрос к такой задаче?
(На сколько меньше шляп, чем колец?)
Учитель дополняет схему:
- На сколько шляп меньше? (На 2.)
- С помощью какого действия можно это найти? (Вычитания.)
Схема дополняется знаком и записывается решение: 6 - 4 = 2 (ш.)
При решении таких задач анализ выбора действия был проведен после
того, как дети дали ответ. На этапе обучения решению простых
задач такое нарушение последовательности этапов решения задачи
вполне правомочно. Причины заключаются в том, что, решая простую
задачу с вычислениями в пределах 10, дети зачастую пользуются
знанием состава чисел и дают ответ, не задумываясь над выбором
действия. Не мешая ребенку быстро решить задачу (это поддерживает
положительное отношение ученика к процессу решения), учитель
помогает ему проанализировать готовые решения и обосновать выбор
действия. В более сложных задачах этот этап, естественно,
проводится раньше, так как цель анализа - выбор действия.
На столе 8 стаканов, это на 3 больше, чем чашек. Сколько чашек на
столе?
Задачи такого вида представляют для учеников очень большую
трудность, так как слова «на 3 больше» не соответствуют смыслу
действия, которым решается задача. Такие задачи, где смысл
действия не совпадает с имеющимися в условии характерными словами
(«больше», «отдали», «вынесли», «меньше» и т. д.), называются
косвенными. Для того чтобы правильно выбрать действие, при их
решении надо осознать смысл связей между данными и искомым,
абстрагируясь от используемой в тексте лексики.
Основными приемами при решении таких задач являются моделирование
и переформулировка в процессе анализа:
- О чем говорится в задаче? (О стаканах и чашках.)
- Сколько стаканов на столе? (8.)
Ученик обозначает число стаканов карточкой с цифрой 8.
- Сколько чашек? (Это неизвестно.)
Ученик обозначает число чашек символом
На доске появляется «каркас» схемы:
- Что сказано о чашках?
(О них ничего не известно, их число надо найти.)
- А что сказано о стаканах?
(Сказано, что их на 3 больше, чем чашек.)
- Я дополню схему этой информацией, а вы скажете, чего еще не
хватает в нашей схеме. Учитель дополняет схему:
Дети замечают, что на этой схеме нет стрелки, поэтому непонятно,
к чему относится запись «на 3 больше».
- Чего было «на 3 больше»? (Стаканов.)
- Давайте обозначим на схеме, что слова «на 3 больше» относятся к
стаканам. Ученик обозначает направление стрелки:
- Теперь видно, какое число «на 3 больше»? (Видно.)
- Если это число (учитель показывает рукой на число 8) на 3 больше,
то что можно сказать об этом числе (учитель показывает на число,
обозначенное знаком вопроса)? Что можно сказать о числе чашек?
(Оно должно быть на 3 меньше.)
- Если я изменю схему таким образом (учитель рисует рядом новую
схему), какое условие нужно будет написать над, стрелкой:
В результате nерформулировкu задачи схема при обретает знакомый
вид: стрелка указывает на число, которое надо найти, а информация
над стрелкой указывает на способ его отыскания (задача в таком
виде превращается из косвенной в прямую), что помогает детям легко
справиться с задачей:
- С помощью какого действия можно его найти? (Вычитанием: 8 - 3.)
Этот прием на первых порах помогает детям осознать возможность
перевода обратного хода мысли в прямой и наглядно отразить этот
перевод в виде изменения в схеме.
Рассмотрим еще одну косвенную задачу:
Саша купил булочку за 7 рублей и у него осталось 8 рублей.
Сколько рублей было у Саши?
При работе над задачей можно использовать прием чтения по чacmям:
схема составляется не после чтения текста, а во время его чтения.
Например, один ученик читает: «Саша купил булочку за 7 рублей».
Другой ученик рисует или ставит карточку:
Ученик читает дальше: «У него осталось 8 рублей».
Ученик у доски ставит карточку: 
- Сколько рублей было у Саши? (Этого мы не знаем, значит
обозначим: )
Обозначения данных и искомого лучше сразу разносить: слева данные,
справа - искомое (или сверху - данные, ниже – искомое и т. п.).
Тогда схема визуально отражает и структуру задачи: условие с
данными и вопрос с искомым.
Таким образом, к тому моменту, как задача прочитана в первый раз,
в тетради (на доске) появляется «каркас» схемы:
Разбор задачи выполняется уже по схеме (к тексту обращаться
только в случае каких-то неясностей).
- Что обозначает число 7? Число 8?
- Какие деньги мы обозначили знаком вопроса?
Анализ удобнее всего выполнять от данных к вопросу:
- Эти (учитель показывает на карточку с числом 8) деньги у Саши
были сначала? (Да.) Как это показать с помощью стрелки?
- А эти (показывает на карточку с числом 7) деньги у него были?
(Да.) Как поставим стрелку? Теперь схема имеет вид:
Схема такого вида соответствует операции сложения, поэтому можно
задать вопрос: «С помощью какого действия найдем, сколько денег
было у мальчика сначала?»
Таким образом, разбор текста и анализ задачи выполняется с опорой
на схему, что облегчает детям работу и занимает меньше времени.
Особенно помогает схема слабым ученикам, тем, которые не могут
решать задачу по представлению. Знак действия ставится noсле
расстановки стрелок, т. е. направление стрелки, показывающее
направление действия, «ведет за собой» знак действия, что
приучает ученика не связывать знак со словами «больше», «осталось»,
а ориентироваться на логику и смысл ситуации. Примечательно, что
использование такой схематизации особенно эффективно в слабом
классе, в том числе в классе коррекционного обучения и классе
для детей с ЗПР.
2.
Схематическое моделирование при обучении решению составных задач.
Рассмотрим возможность использования схем при знакомстве с
составной задачей и обучении решению составных задач на сложение
и вычитание в 1 и 2 классе.
Использование схематического моделирования рассмотренного вида
позволяет построить процесс знакомства с составной задачей на
основе частично-поискового метода: при таком подходе достаточно
после решения простой задачи задать еще один вопрос, и схема
приобретает новый вид, моделируя ситуацию составной задачи.
Рассмотрим этот прием на задаче:
Саша нашел 7 грибов, а Петя - на 2 гриба больше. Сколько грибов у
Пети?
После составления схемы и записи решения учитель спрашивает:
- А если Саша и Петя на обратном пути сложили все грибы в одну
большую корзину, можно узнать, сколько в ней оказалось грибов?
(Да, можно, если узнать, сколько грибов положил туда Петя и
сколько Саша.)
- Давайте обозначим эту корзину на схеме. Знаем мы сразу сколько
в ней грибов? (Нет.)
-Обозначим ее символом
- Покажите, какие грибы положили в нее дети.
Ученик у доски движением руки показывает, какие грибы положены
в корзину, и вслед за движением руки рисует стрелки. Схема
приобретает вид:
Вторая часть схемы определяет сложение, значит, можно поставить
знак: +. Схематический рисунок такого вида ученики легко
переводят в символическую запись решения. При желании на схеме
можно проставить порядок действий:
В таком виде схема играет роль плана решения. После того, как
найден ответ на второй вопрос, учитель обращает внимание детей
на тот факт, что до сих пор они таких задач еще не решали.
Вводится понятие составной задачи как задачи, для решения которой
требуется выполнить больше одного действия.
Использование приема моделирования простой задачи с помощью схемы
снимает необходимость готовить ученика к решению составных задач
как к чему-то новому. Обученный, прежде всего, обращать внимание
на данные и искомое, на характер и структуру связей между ними,
ученик переносит это умение на процесс решения составной задачи.
Разница для него только в том, что данных стало больше и характер
связей стал более разнообразным.
Уже на первых уроках знакомства с составной задачей детям можно
предлагать схемы составных задач, помогая составить по ним задачи
и решить их.
Например:
Практика показывает, что дети уже на первых уроках знакомства со
схемами cocтaвных задач легко «читают» такие схемы, составляют
по ним задачи и решают их, записывая при этом решения в виде
выражения там, где это соответствует структуре схемы
(схемы I и II).
Далее при обучении решению составных задач учитель ориентируется
на те же этапы, что и в работе с простой задачей. Умения,
сформированные у детей при решении простых задач, получают
дальнейшее развитие, становятся более совершенными. Приемы
работы с моделью, используемые на каждом этапе работы с задачей,
носят более разнообразный и сложный характер.
В автобусе ехали 10 человек. На первой остановке в автобус
вошли 9 человек, на второй вошел еще 1 человек. Сколько человек
стало в автобусе?
В связи с тем, что при решении составной задачи может быть
использована новая форма записи ее решения - в виде выражения,
при разборе этой задачи может быть использован такой
методический прием.
После чтения задачи и разбора ее текста учитель предлагает детям
рассмотреть готовые схемы на доске и выбрать ту, которая подходит
к данной задаче.
При анализе выбранных схем 1 и III учитель обращает внимание
учащихся на то, что схема 1 отражает последовательность событий:
9 человек вошли на первой остановке, 1 человек - на второй
остановке. Но поскольку все они в конечном счете едут в одном
автобусе и в задаче спрашивается «Сколько человек стало в
автобусе?», схема III также отражает структуру этой ситуации.
При выборе схем учитель показывает детям две формы записи
решения:
1) 10 + 9 = 19 (ч.) и 10 + 9 + 1 = 20 (ч.)
2) 19 + 1= 20 (ч.)
и предлагает определить, какая из форм записи подходит к
схеме III, а какая - к схеме I. Схема III определяет форму
записи выражением, схема I - по действиям. Такие упражнения на
установление связей между структурой схемы и формой записи решения
способствуют формированию аналитических способностей: ученик,
в состоянии проанализировать структуру схемы и соотнести ее со
структурой записи решения. Здесь же можно обсудить вопрос о
том, какая из схем и, соответственно, приемов записи решения
задачи имеют более экономную компактную форму.
После работы над этой задачей полезно обратить внимание учащихся
на схему II: .
- Почему вы считаете, что эта схема не подходит к данной задаче?
(Стрелка показывает, что 1 пассажир вышел, а не вошел.)
- Составьте задачу по этой схеме. (Дети составляют задачу.)
- Чем похожи эти задачи?
(У них одинаковые данные и одинаковые вопросы.)
- Чем они отличаются? (Характером событий, а значит, и решения
будут разные.)
- Зная, что в автобусе было 10 пассажиров и на остановке вошли
9 пассажиров, что можно узнать? (Сколько пассажиров стало в
автобусе после первой остановки.)
Какое действие нужно использовать? (Сложение.)
Схему дополняют знаком действия.
- Зная, сколько всего пассажиров в автобусе и что один пасса
жир вышел на следующей остановке, что можно узнать?
(Сколько их осталось.)
- Какое действие? (Вычитание.)
Схему дополняют знаком действия, и в таком виде она выполняет
роль плана решения:
Решение данной задачи целесообразно записать и по действиям и
выражениям, так как ее схема не имеет ярко выраженного характера,
соответствующего той или иной форме записи.
Приведем примеры составных задач:
Девочка купила блокнот за 8 рублей, карандаш за 3 рубля.
И линейку за 6 рублей. Сколько денег она потратила?
Схема к этой задаче может быть составлена по типу схемы III
(см. выше).
В бидоне 24 л молока. Одному покупателю отлили 3 л, другому 5 л.
Сколько молока осталось в бидоне?
Схема к этой задаче может быть составлена двух видов
Схема I соответствует записи решения выражением. Схема II
отражает последовательность событий (сначала одному покупателю
отлили 3л, потом другому - 5 л) и соответствует записи решения
по действиям (количество строк записи решения показывает и
количество знаков вопроса в схеме).
Решение большинства составных задач в 1-2 классе тесно связано
со свойствами арифметических действий (прибавление числа к сумме,
вычитание числа из суммы, прибавление суммы к числу, вычитание
суммы из числа). Эти свойства позволяют решать составные задачи
различными способами.
Утром ушли в море 20 маленьких и 8 больших лодок 6 лодок
вернулись. Сколько лодок должно еще вернуться?
Для того чтобы нахождение разных способов решения данной задачи
не превратилось в формальное манипулирование числами на основе
свойств арифметических действий, необходимо уделить основное
внимание анализу ситуации, которая дана в задаче. При анализе
текста главным будет являться вопрос: «Знаем мы, какие лодки
возвращались - большие, маленькие или те и другие?»
(Нет. Мы знаем только что их вернулось 6)
После уточнения этого факта можно использовать такой
методический прием: учитель открывает на доске три
заготовленных заранее схемы и предлагает детям выбрать
подходящую к данной задаче. Ученик, выбирающий схему, должен
рассказать соответствующую этой схеме версию событий задачи
(вернулись только большие лодки, только маленькие, те и другие).
Схемы к этой задаче имеют вид:
Этим трем схемам соответствуют три разных способа решения,
которые дети составляют после разбора каждой схемы:
I.1) 20 + 8 = 28 (л.)II.1) 20 - 6 = 14 (л.)III.1) 8 - 6 = 2 (л.)
2) 28 - 6 = 22 (л.) 2) 14 + 8 = 22 (л.) 2)20+2=22(л.)
Все три решения имеют одинаковый ответ, следовательно, задача
решена верно.
Можно было использовать и такой методический прием: предложить
учащимся не только три готовые схемы, но и сразу три варианта
решения. Это упражнение направлено на формирование аналитических
способностей: ученики должны соотнести структуру схемы со
способом решения и выбрать к каждой схеме соответствующую запись,
объясняя логику своего выбора.
Использование приема моделирования при формировании умения решать
задачи предполагает в основном синтетический подход к ее
разбору. Психологически это обусловлено тем, что в возрасте6-7
лет развитие способности к синтезу опережает развитие способности
к анализу. На этом этапе ребенку ближе и понятнее синтетический
подход к задаче («от дaнных»), который, кроме того, значительно
короче, а значит, более доступен. Синтетическая схема, в отличие
от аналитической, является, прежде всего, моделью ситуации,
предлагаемой в задаче. В связи с этим она как бы направляет
ход мысли. Синтетическая схема обычно отражает ход событий в
задаче, приучая ребенка к внимательному изучению ситуации,
соблюдению хронологии, помогает выстраивать цепочку
рассуждений, следуя за главными событиями, не отвлекаясь на
второстепенные детали.
Приведем пример синтетического разбора задачи, сопровождаемого
составлением схемы.
Первоклассники заготовили для птиц 6 кг рябины и 4 кг
семян арбуза. За зиму они скормили птицам 9 кг корма. Сколько
кг корма осталось?
- Что можно узнать, если известно, что дети заготовили рябины
6 кг и арбузных семян 4 кг? (Можно узнать, сколько корма
заготовили всего.)
- Как это сделать? С помощью какого действия?
(Надо сложить 6 кг и 4 кг.)
- Что можно узнать, если известно, сколько корма было всего и
сколько съели птицы? (Можно узнать, сколько его осталось.)
- Как это узнать? (Надо от всего корма отнять 9 кг.)
Схема, соответствующая этому разбору, выглядит так:
Характерно, что синтетический разбор обычно сопровождается
составлением плана решения, так как при каждом следующем «шаге»
используется данное, найденное на предыдущем «шаге». Приведем
аналитический разбор («от вопроса») той же задачи:
- Что нужно знать, чтобы ответить на вопрос задачи? Или:
Что нужно знать, чтобы определить, сколько килограммов корма
осталось? (Нужно знать, сколько корма заготовили и сколько
скормили птицам.)
- Известно, сколько скормили птицам? (Да, 9 кг)
- Известно, сколько корма заготовили? (Неизвестно.)
- Что нужно знать, чтобы определить, сколько корма заготовили?
(Нужно знать, сколько заготовили рябины и арбузных семечек.)
Известно, сколько было рябины? (Да, 6 кг)
- Известно, сколько было арбузных семян? (Да, 4 кг.)
Схема, соответствующая такому разбору, выглядит так:
Чтобы составить план решения, надо вернуться по этой схеме
«обратно»:
- Как узнать, сколько корма запасли? (Сложение.)
- Как узнать, сколько корма осталось? (Вычитание.)
Как видно из приведенного примера, составление аналитической
схемы требует хорошо развитого «обратного» хода мысли, высокого
уровня сформированности аналитических способностей.
При постепенном переходе от использования предметной наглядности
к использованию схемы (абстрактного изображения ситуации,
предложенной в задаче) создаются предпосылки и фактически
ведется работа по формированию у ребенка умения
абстрагироваться: умения, являющегося необходимым для развития
математического мышления.
Схема состоит из элементов, смысл которых легко понимается
маленькими детьми: кружков, квадратиков, стрелок. Таким
образом, схема, с одной стороны, легко выполняется учеником,
так как не требует никаких специальных графических умений,
а с другой - Не требует умения достаточно хорошо писать
опорные слова, что необходимо для оформления краткой записи.
Такая модель задачи позволяет сделать математические связи
и зависимости наглядными для учеников, причем это относится не
только к явным, но и скрытым зависимостям между величинами.
Схема является абстрактным изображением той ситуации, которая
дана в задаче, она позволяет абстрагироваться от несущественных
подробностей, приучает ученика быстро
находить главное в задаче (данные, искомое) и тем самым помогает
осознать условие и выбрать действие.
Таким образом, схема несет двоякую нагрузку: с одной стороны,
она является абстрактной моделью, с другой стороны, схема
достаточно конкретна: зримо воспринимаемая, воплощает фактически
те мыслительные действия, которые ученик проделывает, моделируя
задачу, т. е. является итоговым результатом внутренних действий.
Возможность воплотить эти действия и их результат во внешнюю
опору для многих учеников служит той самой необходимой
ступенькой, поднявшись на которую, они могут двигаться дальше к
адекватной мысленной модели ситуации. Наличие схемы на доске
или индивидуальной карточке поможет сориентироваться даже слабым
учащимся. Анализ проводится, когда схема в первом приближении
составлена, что облегчает ученику эту процедуру и резко
сокращает затраты времени. Кроме того, готовая схема исключает
этап поиска пути решения, так как она сама является схемой
способа действия, способа решения. И, наконец, схема является
также и средством контроля (самоконтроля), поскольку ребенок
всегда может сравнить выполняемые им действия со способом
действия, зафиксированным в схеме. Если учесть при этом, что
использование приема моделирования (со схемой в качестве
модели) помогает формированию таких приемов умственной
деятельности как абстрагирование, анализ, синтез, а также
способствует формированию внутреннего плана действий у ребенка,
то можно с уверенностью утверждать, что использование описанного
приема моделирования при обучении решению задач в первом классе
будет способствовать развитию мышления, развитию математических
способностей.
В настоящее время методисты стали много внимания уделять
приему моделирования задачи с помощью различных схем
(Н.Б. Истомина, Л.Г. Петерсон и многие другие). Однако во всех
случаях идет речь об обучении ребенка использованию сразу
графической модели в виде отрезков - так называемой схемы в
отрезках, где различные совокупности или величины, заданные в
задаче, изображаются с помощью отрезков. Безусловно, эти схемы
являются очень действенными и, как будет показано ниже,
фактически универсальными при обучении ребенка решению задач.
Но сама форма этой схемы является очень абстрактной и слишком
условной для понимания многих шестилетних школьников. У учителя
обычно уходит много сил на обучение детей этому способу
моделирования уже с 1 класса. Возможно, именно поэтому новый
вариант учебника математики Н.Б. Истоминой для четырехлетней
школы, активно использующий схему в отрезках для обучения
решению задач, предполагает знакомство с задачей только во
2 классе. Схема в отрезках, даже предъявляемая ребенку в
учебнике готовой, не дает ученику, если он заранее не обучен
специально вычерчиванию и чтению этой модели, визуально
сразу схватываемую и понятную с первого взгляда картину
выбора действия.
Учителя уже обращают внимание на то, что наличие в учебниках
большого количества готовых схем в отрезках ко многим задачам
значимо не влияет на уровень сформированности умения решать
задачи у школьников. Это объясняется тем; само умение строить
графическую модель к задаче является базовым для обучения ее
решению. Формировать это умение следует, постепенно повышая
уровень абстрактности используемой модели, переход от
предметного моделирования сразу к абстрактной схеме в отрезках
для многих детей слишком сложен. Опыт показывает, что даже
для учителя составление схемы в отрезках для задач чуть более
повышенного уровня сложности требует специального обучения.
Предлагаемый нами для 1 класса вариант схемы является намного
более простым как в исполнении, так и для понимания ребенка,
и не требует для начала даже обучения вычерчиванию отрезков и
пониманию процесса суммирования отрезков, что необходимо для
работы со схемой в отрезках. Использование этого варианта
схемы позволяет ознакомить детей с задачей в соответствии с
программой традиционного учебника уже в начале 1 класса.
3.
Использование схемы в виде отрезков при решении задач.
При обучении учащихся построению вспомогательных графических
моделей при решении задач важно обеспечить постепенный, но
своевременный переход от использования одних видов моделей к
другим: от более конкретных к менее конкретным. К концу 1 класса
или во 2 классе имеет смысл постепенно перевести детей на
использование схемы в отрезках. Время этого «перевода» учитель
определяет, ориентируясь на конкретную ситуацию в классе,
поскольку схема в отрезках становится необходимостью только
при знакомстве с задачами на деление. Все задачи, содержащиеся
в учебниках до этого времени позволяют использование
рассмотренной ранее рисованной схемы.
Проиллюстрируем на примере одной и той же задачи различные
способы ее моделирования.
У Кати 7 книг на полке, а в портфеле на 5 книг меньше.
Сколько всего книг у Кати?
Решая задачу, ученики могут воспользоваться условным рисунком, на
одной строке рисуют 7 кружочков, на другой – столько же, затем,
руководствуясь текстом условия, 5 из них зачеркивают. Оставшиеся
незачеркнутыми кружки дают число книг в портфеле. Арифметическое
действие можно не выполнять, так как ответ можно сосчитать.
Использование такого рисунка фактически является дублированием
соответствующих предметных действий. Такая модель наиболее близка
к конкретной наглядности. Другой вариант использования приема
моделирования – это изображение ситуации задачи с помощью схемы:
Данная схема отражает отношения между данными и искомым, которые
описаны в задаче, но не дает возможности найти ответ пересчетом.
Чтобы ответить на вопрос задачи, необходимо выполнить действие.
Такая модель является более абстрактной. Еще один вариант
схематического изображения отношений между данными и искомым -
это чертеж «B отрезках». Такой чертеж может быть двух видов:
1) длина отрезка «B клеточках» соответствует данным задачи, в
этом случае ответ задачи можно получить пересчетом;
2) длины отрезков условны и отражают только отношения между
данными и искомым, а численное их значение записывается с помощью
цифр: найти искомое в этом случае, становится возможным лишь
выполнив те или иные арифметические действия над указанными на
чертеже числами.
К приведенной выше задаче этот чертеж в виде отрезков выглядел
бы соответственно так:
Очевидно, что графическая модель в виде отрезков является моделью
более высокого уровня абстрактности, чем схематический рисунок.
Такая модель требует сформированности определенного уровня умения
читать схематические изображения ситуаций, и еще более сложного
умения составлять такие графические изображения ситуаций.
В связи с высоким уровнем абстрактности схема в отрезках обладает
большим количеством «степеней свободы», т. е. при использовании
одного и того же чертежа в отрезках можно решать задачу
несколькими способами, и не нужно каждый раз рисовать новую
схему, как в случае со схемами предыдущего Вида, рассмотренными
выше. На этапе усвоения учеником смысла понятия «разные способы
решения одной задачи» такая работа была полезна. Рисуя схему
каждый раз заново, ученик отражает в рисунке разный ход мысли
при решении одной и той же задачи, что является главным для
усвоения понятия «разные способы решения». Когда это умение
сформировано на определенном уровне, полезно перейти к
использованию менее наглядной, но более универсальной модели
задачи, чтобы дать больше свободы мышлению, т. е. перейти к схеме
в отрезках.
Знакомство с моделированием задач схемами в виде отрезков
целесообразно начать с таких задач, данные которых выражены в
мерах длины. В этом случае изображение данных и Искомого виде
отрезков будет понятнее детям. Приведем пример такого
моделирования:
В куске было 15 м ткани. Одному покупателю. Продали 5, а
другому 4 м. Сколько метров ткани осталось в куске?
Рассмотрим процесс построения схемы к этой задаче:
- Сколько ткани было в куске? (15м.) Изобразим с помощью
произвольного отрезка длину всего куска ткани, надпишем над ним,
что он изображает 15 м:
- Что еще известно в задаче? (Одному покупаmeлю продали 5 м.)
Давайте отметим эту часть отрезка и подпишем под ним, что он
изображает 5 м:
- Что известно о ткани, проданной второму покупателю?
(Ее было 4 метра). Обозначим это отрезком и подпишем.
- Что надо найти? (Сколько ткани осталось в куске.)
- Покажите на чертеже отрезок, который обозначает оставшуюся ткань.
Ученик показывает и вслед? А движением руки рисует скобку, над
которой ставит знак
Если первоначально отрезок, изображающий 15 м ткани, отложить
размером 15 клеточек, то ответ задачи можно найти пересчетом,
т. е. задача будет решена графически и другого решения она не
требует.
Если длина отрезка была условной, то анализ задачи проводится
по чертежу. Лучше выбрать вариант анализа «от данных».
-Что можно узнать, если известно, что продано одному покупателю
4 м, а другому 5 м? (Сколько им продано обоим.)
- Какое действие нужно выполнить? (Сложение.)
Знак действия ставится на чертеже и обозначается скобкой, какие
числа будут складывать.
- Как узнать, сколько ткани осталось в куске? (От всей ткани
отнять то, что продано.)
В таком виде чертеж играет роль также и плана решения. Модель
такого вида вызывает в сознании ученика совершенно конкретное
представление о ситуации, структуру связей между данными и
искомыми отражает в явном виде, т. е. прогнозирует ход решения.
Причем одна и та же модель допускает разные способы решения,
а также явно подводит ученика к способу записи решения
выражением: 15 - (4 + 5) или (15 - 4) - 5.
Выполненная средствами языка графики, такая модель позволяет
ученику подняться на достаточно высокую ступеньку абстрактности-
никаких соотношений, кроме количественных, эта схема не отражает,
все второстепенные детали опущены, выбор действия производится
без учета «главного» слова, а только исходя из логики
происходящих изменений.
Знакомить учащихся с таким способом моделирования задачи полезно
уже в первом классе, хотя бы при решении задач, в которых данные
и искомые выражены в единицах длины. Постепенно учащиеся
знакомятся с другими задачами, которые удобно моделировать в
«отрезках». Такая работа является подготовительной к
постепенному переходу от схематического моделирования
(в 1 классе) к графическому (во 2 и 3 классах). Понимать чертеж
«в отрезках» учащиеся должны к тому времени, как начинают решать
простые задачи на деление, поскольку задачи на деление нельзя
моделировать схематическим рисунком, рассмотренным ранее, эти
задачи требуют рисунка «в отрезках».
Рассмотрим задачу:
Из 12 м ткани в мастерской сшили несколько платьев, расходуя
на каждое по 3 м. Сколько платьев получилось из этого куска
ткани?
Моделировать такую задачу с помощью схемы со стрелками не удобно
прежде чем ее нарисовать, фактически приходится задачу решить,
поскольку иначе неизвестно, Сколько стрелок изобразить.
Такая задача является очень удобной для перехода к рисунку
«в отрезках»: дети чертят отрезок длиной 12 клеточек, а затем
откладывают по 3 м (3 клетки), отделяя их черточкой.
В результате получаем графическое решение задачи. Ответ можно
найти пересчетом маленьких отрезков:
Опыт показывает, что такой переход для детей, имеющих опыт
моделирования задач схемами со стрелками, не представляет никакой
трудности, поскольку умение моделировать словесно заданную
ситуацию средствами графики является общим умением, опыт
применения которого дети уже имеют. Другой вид рисунка поначалу
затрудняет только немногих детей, причем чаще это обусловлено
только характером ребенка, а не трудностью восприятия схемы
нового вида - есть дети (как и взрослые), трудно привыкающие к
новому во всем (даже в одежде). Эти дети обычно еще долго
пользуются старым «проверенным» способом моделирования задачи
и только появление большого количества новых задач, где
использование рисунка в отрезках эффективнее старого способа со
стрелками, постепенно убеждает их в необходимости перейти к
новому виду моделирования. Мы обычно советуем учителям не
вводить новый способ «категорическим требованием». Пусть ребенок
сам постепенно перейдет на него, а в «переходный период» он
может использовать любой способ моделирования, лишь бы этот
способ помогал ему легко и правильно решить задачу.
Рассмотрим задачи с различными структурами графических моделей
в отрезках.
В ларек привезли 8 ящиков огурцов по 10 кг в каждом. До
обеденного перерыва продали 54 кг Огурцов. Сколько килограммов
огурцов осталось?
Анализ данной задачи удобно проводить, опираясь на графическую
модель «в отрезках» в Сочетании с элементами краткой записи:
Анализ рисунка подводит ребенка к плану решения и записи решения
сразу выражением: 10*8 - 54.
В шкафу стояло 6 глубоких тарелок, мелких в 3 раза больше, чем
глубоких, а блюдец в 2 раза меньше, чем мелких тарелок. Сколько
блюдец было в шкафу?
Анализируя текст этой задачи, целесообразно сопровождать его
построением графической модели в отрезках, используя прием
«чтение по частям».
Изобразим количество глубоких тарелок произвольным отрезком и отметим,
что он соответствует 6 тарелкам. Так как мелких тарелок в 3 раза
больше, отложим ниже отрезок в 3 раза длиннее(3 отрезка такой же
длины). Третий отрезок будет обозначать количество блюдец, он
вдвое короче второго.
Анализ задачи проводится с опорой на схему: чтобы узнать
количество блюдец, надо количество мелких тарелок разделить
пополам. Чтобы узнать, сколько было мелких тарелок, надо по 6
взять 3 раза.
Запись решения можно оформить выражением (6*3): 2.
В один ларек привезли 15 ящиков с фруктами, в другой 10 таких
ящиков. В первый ларек привезено фруктов на 60 кг больше, чем
во второй. Сколько килограммов фруктов привезено во второй ларек?
Данная задача содержит три величины, две из которых связаны
пропорциональной зависимостью: количество ящиков и общее
количество фруктов, третья величина (емкость ящика) является
величиной постоянной и играет роль коэффициента пропорциональности.
Нагляднее всего такие задачи моделируются на графическом
чертеже «в отрезках», хотя в школьной практике для их
моделирования чаще используют таблицу. Покажем оба варианта.
Графический вариант:
Визуальный анализ чертежа показывает, что в первом ларьке
фруктов больше за счет того, что больше ящиков. Анализ чертежа
должен подвести к тому, что на «лишних» 60 кг приходится 5 ящиков.
Второй важный момент условия учитель акцентирует с помощью вопроса:
- Что сказано о размерах всех этих ящиков? Какие они все?
(Ящики одинаковые.)
- Что можно узнать, если 5 одинаковых ящиков весят 60 кг?
(Вес одного ящика.)
После того, как задача решена, полезно провести работу над ней,
изменяя данные (количество ящиков, массу избытка), выяснить,
что изменится, если изменить количество ящиков, но не менять
массу избытка (изменится масса одного ящика) и т. д. Дети
должны осознать, что, изменяя одну величину при неизменной
постоянной, нужно обязательно изменить другую величину
(причем точно так же - т. е. пропорционально).
Данную задачу можно решать и оформив ее условие в таблицу:
| количество ящиков | масса одного ящика | масса фруктов |
| 15 ящ. | ? одинаковая - | ? на 60 кг больше - |
| 10 кг | - ? | - ? |
Таблица в данном случае является более громоздким вариантом модели.
Планируя использование таблицы, учитель должен заготовить ее
каркас (рамку) заранее, чтобы не тратить время на ее вычерчивание
на уроке. Удобно использовать рамку из тонких реек (она вешается
на два гвоздя на доске). Если таблица заполнена в процессе
анализа текста на доске, ученикам нет смысла переносить ее в
тетрадь - это занимает много времени. Таблица удобна при
фронтальном разборе задачи и в том случае, когда учитель
планирует решить задачу, обратную к данной. Тогда, заменяя одно
из данных вопросом, а прежний вопрос - данным, легко построить
обратную задачу той же структуры. Обратная задача может
выглядеть так:
| количество ящиков | масса одного ящика | масса фруктов |
| ? | ? одинаковая - | ? на 60 кг больше - |
| 10 ящ | - ? | - 120 кг |
Графический вариант для обратной задачи выглядит так:
Полезно обратить внимание учащихся на то, что если прямую задачу
можно было решить только одним способом, то обратную можно решить
двумя способами. Нагляднее это видно на графической модели:
I.1) 120: 10 = 12 (кг) II.1) 120: 10 = 12 (кг)
2) 120 + 60 = 180 (кг) 2) 60 : 12 = 5 (ящ.)
3) 180: 12 = 15 (ящ.) 3) 10 + 5 = 15 (ящ.)
Для формирования умения свободно пользоваться графическим чертежом
полезны задания, в которых учащиеся по данной графической модели
составляют условие задачи и записывают решение, например:
Составить задачу по чертежу.
При составлении задачи по чертежу нужно подробно провести
анализ графической модели, т. е. рассмотреть, как выражены
данные, искомое, как показана связь между ними, как понимать
каждое условное обозначение.
- О чем будет наша задача? Что изображает верхний отрезок?
Известно ли это число?
- Что изображает второй отрезок? Известно ли это число?
А что о нем можно сказать по чертежу?
- Что изображает третий отрезок? Что о нем можно сказать по
чертежу? Что требуется узнать в задаче? Как это обозначено на
чертеже?
При выполнении подобных заданий ученики начинают лучше
и быстрее разбираться в математической структуре задачи,
учиться «читать» зависимости, скрытые в схемах и чертежах.
Из всего многообразия задач, решаемых в 3 и 4 классах, задачи
на пропорциональную зависимость между величинами следует
выделить в отдельную группу. Пропорциональной зависимостью
связаны, как правило, две величины, третья играет роль коэффициента
пропорциональности. Наиболее часто используемым способом
моделирования для большинства таких задач является таблица,
содержащая три столбца (по количеству задействованных величин).
Оформление условия и вопроса задачи в таблицу позволяет ученику
быстрее сориентироваться как в характере и количестве
задействованных в задаче величин, так и в структуре связей
между ними.
В одном альбоме 600 марок наклеено на 15 страницах поровну.
В другом альбоме наклеено 448 марок и на каждой странице на 8
марок меньше, чем в первом альбоме. Сколько страниц занято
марками во втором альбоме?
Анализ текста удобнее отразить в таблице:
| всего марок | асего страниц | марок на 1 странице |
| 600 шт. | 15 стр. | ? (поровну) - |
| 448 шт. | ? | ? на 8 шт. меньше -| |
Анализ задачи проводится с опорой на таблицу (вариант
«от данных»). В таблице видно, что ее первая строка содержит два
известных данных и один вопрос, значит, начинать решение задачи
следует с ответа на этот вопрос. Затем сравниваются два данных в
третьем столбце по вертикали. (Можно ли узнать, сколько марок на
одной странице второго альбома, если мы знаем, сколько их на 1
странице в первом?) И затем можно ответить на главный вопрос
задачи. Таблица удобна для работы над задачей в классе, поэтому
многие учителя предпочитают использовать ее при проведении
фронтальной работы. Отрицательным моментом этой модели является
то, что это не самостоятельный прием работы над задачей самого
ученика. Таблицу готовит и руководит ее заполнением учитель.
Дети не чертят таблиц в тетради. Поэтому этот способ деятельности
(эта модель) многими детьми не присваивается, т. е. не становится
собственным приемом работы ребенка с задачей. В противоположность
таблице графический рисунок ребенок полностью рисует в тетради
сам. Научившись этому на уроках, он и в домашней работе, и на
контрольной может использовать этот способ моделирования любой
задачи.
С одной грядки собрали 4 мешка картофеля, а с другой б таких же
мешков. Масса всего собранного картофеля 480 кг. Найти массу
картофеля, собранного с каждой грядки.
В основе данной задачи также лежит понятие прямой
пропорциональности, постоянной величиной является масса одного
мешка. Это важно подчеркнуть при анализе текста. Моделировать
такую задачу можно с помощью чертежа или таблицы. Учителя чаще
используют таблицу. Покажем вид рисунка « в отрезках» к этой
задаче:
Основная мысль, которую должны понять дети при решении этой
задачи, заключается в том, что 480 кг распределяются
пропорционально количеству мешков, которые собраны с каждой
грядки. Рисунок показывает это наглядно.
После решения этой задачи полезно составить обратную ей:
На чертеже хорошо видно, почему со второй грядки собрали
картофеля на 96 кг больше (так как больше мешков). Значит,
разница в 96 кг приходится на 2 мешка, отсюда виден путь решения
задачи.
На субботнике 20 школьников убирали классы. Это 1/3 часть тех
школьников, которые убирали пришкольный участок.
Сколько детей убирали пришкольный участок?
Анализируя данную задачу, лучше начать с ее вопроса:
- Сколько детей убирали пришкольный участок? (Это неизвестно.)
- Изобразим общее число детей в виде произвольного отрезка:
- Отметим, что их количество мы не знаем.
- Что известно о школьниках, убиравших классы? (Их было 1/3 от
всех и всею 20 человек.)
Разделим отрезок на 3 равные части (приблизительно) и отметим ту
часть школьников, которая убирала классы:
- Что можно сказать о количестве всех школьников на участке?
(Их в 3 раза больше.)
Обращаем внимание учителя на то, что вопрос детям, почему сделан
такой вывод, нецелесообразен - это видно по рисунку.
- Каким действием их можно найти? (умножением 20*3 = 60чел.)
Приведенный пример показывает, что достаточно трудные для
восприятия многих детей задачи. Ha нахождение числа по его доле
удобнее всего моделировать рисунком в отрезках, визуально
показывающим способ ее решения.
4.
Задания, с помощью которых, учащиеся учатся преобразовывать тексты задач в математическую
модель.
Пример 1:
1.1. Перескажи следующий текст: «Дети играют во дворике. Среди них
мальчики и девочки». Нарисуй «картинку».
1.2. Перескажи текст: «Сначала Петя изготовил для елки несколько
звездочек, а затем несколько флажков».
Изобрази этот текст с помощью последовательности:
Придумай подробный рассказ про то как Маша читала книгу. Изобразив
свой рассказ с помощью последовательности. Сравни изображения.
1.3.Перескажи текст: «Несколько чашек молока мама израсходовала на
приготовление каши, а ещё несколько чашек – на приготовление теста».
Изобрази этот с помощью отрезков. Нарисуй отрезки, изображающие
емкость одной чашки, емкости нескольких чашек молока для каши и
для теста. Придумай похожий рассказ про шаги Вани, если он шел от
дома до школы мимо спортивной площадки. С помощью отрезков изобрази
его путь. Сравни изображения.
1.4. Перескажи: «У школы растет а лип и b рез». Нарисуй картинку.
Ответь на вопросы:
-Что известно про количество лип у школы? Про количество берез?
Придумай подробный рассказ про яблоки и груши, которые дали детям.
Нарисуй картинку.
1.5. Перескажи и нарисуй картинку: « В магазин привезли a
мешков картофеля и b мешков моркови. Всего с мешков».
Ответь на вопросы:
- Что известно о количестве мешков с картофелем; с морковью; всех
мешков с овощами? Придумай похожий рассказ о мальчиках и девочках в
первом классе.
Запиши выражения для а, b, c.
1.6. Знаком 
последовательности Петя отметил
число дней, которые он провел у бабушки. Остальные d дней каникул
он был на экскурсии. Каким знаком отметил Петя число дней каникул?
Запиши выражения для каждого отмеченного им знака.
Ответь на вопросы:
- Что известно о количестве дней, которые провел Петя у бабушки;
которые он пробыл на экскурсии; на каникулах?
Придумай подробный рассказ о том, как Маша читала книгу и с
помощью той же последовательности отмечала число прочитанных
страниц.
1.7. Масса всей маминой покупки а кг. Ваня нес b кг, а мама c кг.
Нарисуй картинку изображающую массы, о которых здесь сказано.
Изобрази любым отрезком массу одного килограмма.
Ответь на вопросы:
- Что известно о массе всей маминой покупки; о массе, которую
нес Ваня; о массе, которую несла мама?
Запиши выражения для f, b, c.
Придумай похожий рассказ про длину ленточки у Кати.
1.8. В вазе лежало а яблок. Из них b зеленых, а с красных.
Нарисуй картинку. Ответь на вопросы:
- что известно о количестве яблок в вазе; о красных яблоках; о
зеленых яблоках?
Сравни количества a и b; a и с.
Ответь на вопросы:
- На сколько а больше, чем b? b меньше, чем а?
- На сколько а больше, чем с? c меньше, чем а?
1.9. У Кати было а воздушных шариков. B шариков она подарила Пете.
У неё осталось с шариков.
Нарисуй картинку. Ответь на вопросы:
- Что известно о количестве шариков, которое было у Кати
вначале; количество, которое она подарила; количество, которое
у неё осталось; количество, которое было вначале у Пети;
количество, которое у него стало? На сколько больше шариков
стало у Пети? На сколько меньше шариков стало у Маши?
Запиши выражения для a, b, c. Замени a, b, c какими – нибудь
числами. Можно ли с заменить любым числом? Как найти это число?
Можно ли b заменить любым числом? Каким оно должно быть?
Придумай похожий рассказ про запасные подшипники для велосипеда,
которые были у Пети.
1.10. На одной полке а книг, на второй на b больше. Всего с книг.
На третьей полке на b книг меньше, чем на первой, всего их
d книг. Сначала нарисуй книги на первой и второй полках,
затем на первой и третьей полках. Ответь на вопросы:
- Что известно о количестве книг на первой полке; на второй
полке; на третьей полке? На какой полке больше всего книг?
Меньше всего?
- На сколько с больше, чем а? На сколько а меньше, чем с?
На сколько а больше, чем d? На сколько d меньше, чем а?
Узнай на сколько книг на третьей полке меньше, чем на второй?
Каким выражением можно записать это количество?
Запиши выражения для a, b, c, d.
Замени a, b, c, d какими – нибудь числами. Какие числа нельзя
взять любыми?
Придумай подобный рассказ про массу картофеля в трех мешках.
1.11. У Пети было а руб. Он хотел купить блокнот за b рублей, но у
него не хватило с рублей.
Нарисуй картинку, изображающую количество рублей, о которых
здесь сказано. Ответь на вопросы:
- Сколько денег было у Пети? Что известно о стоимости
блокнота; о количестве денег, которых не хватило Пети
на покупку?
- Какое из чисел а или b больше? На сколько b больше, чем а?
На сколько а меньше, чем b?
Запиши выражения для a, b, c.
Придумай похожий рассказ про книги, которые Катя хотела взять
с собой в школу.
1.12. Катя и Ваня читали книгу. Катя прочитала 12 страниц.
Оказалось, что она прочитала на 3 страницы больше, чем Ваня.
Знаками последовательности 0 1 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 14 15…
отметь число прочитанных страниц Катей и Ваней.
Ответь на вопросы:
- Что известно о количестве страниц, прочитанных Катей;
прочитанных Ваней?
- Кто из них прочитал больше страниц? На сколько больше
прочитала страниц Катя, чем Ваня? На сколько меньше страниц
прочитал Ваня, чем Катя?
- Какими выражениями можно записать количество страниц,
прочитанных Ваней? Запиши его.
Как по другому можно сказать о прочитанных Ваней и Катей
страницах? Составь такой рассказ.
Придумай подобный рассказ про длину ленточек у Маши и Лены.
1.13. Таня и Маша чистили картофель. Маша очистила 6 картофелин,
что на 2 картофелины меньше, чем Таня.
Знаками последовательности
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14… отметь число картофелин,
очищенных девочками.
Ответь на вопросы:
- Кто из них, Маша или Таня, очистил больше картофелин? На
сколько картофелин больше очистила Таня, чем Маша? На
сколько картофелин меньше очистила маша, чем Таня?
Придумай похожий рассказ про количество огурцов, собранных
с двух грядок. Расскажи иначе обе эти истории.
1.14. На первой остановке в автобус вошли 4 пассажира. После второй
остановки в автобусе на 2 пассажира стало меньше, чем было
до первой остановки.
- Что произошло на второй остановке? (Пассажиры только выходили.)
Знаками последовательности 0 1 2 3 4 5… отметь, как изменялось
число пассажиров в автобусе.
Сначала отметь число пассажиров, которые вошли на первой
остановке. Так как пассажиры входили, то число пассажиров в
автобусе увеличилось. Это можно показать так:
На сколько уменьшилось пассажиров на второй остановке можно
показать так:
Число пассажиров, которые вышли на второй остановке, можно так
показать:
Какими выражением можно записать число пассажиров, которые вышли
на второй остановке?
Придумай похожий рассказ про количество яблок в вазе, в которую
сперва добавили яблоки, а после обеда их оказалось меньше, чем
было сначала.
1.15. За весь день магазин продал 12 ящиков с апельсинами. В конце дня
оказалось, что их количество уменьшилось на 4 по сравнению с тем,
что было утром.
Как это могло произойти? (В течении дня в магазин привезли еще
ящики с апельсинами.)
Знаками последовательности 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14…
отметь, как изменялось число ящиков с апельсинами в магазине.
Каким выражением можно записать количество ящиков, которые
привезли в магазин в течение дня?
Придумай похожий рассказ про конфеты, которые съела Маша.
1.16. автотурист выехал из города А в 6 утра. Через 2 ч
пути он приехал в город В и обнаружил, что забыл карту шоссейных
дорог. Он вернулся в город А и сразу вновь отправился в путь.
С помощью последовательности
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14…отметь, в котором часу
автотурист снова оказался в городе В.
Каким выражением можно записать это время суток?
Придумай похожий рассказ про Петю, который пошел в школу и
забыл костюм для урока физкультуры.
Пример 2:
2.1. В спортивном зале тренируется а команд. У каждой команды одно
и то же количество мячей b. Всего у них с мячей.
Нарисуй картинку. Ответь на вопросы:
- Что известно о числе команд; мячей?
- В каком отношении находятся числа a, b, c? Запиши выражения
для a, b, c.
- Во сколько раз число всех мячей больше, чем число команд?
- Во сколько раз число всех мячей больше, чем число мячей у
одной команды?
- Какие числа можно поставить вместо a, b, c?
- Во сколько раз число команд больше, чем число всех мячей?
- Во сколько раз число мячей у одной команды меньше, чем число
всех мячей?
Продолжи рисунок:
Заполни таблицы:
| число команд | число мячей |
| 1 | 3 |
| 2 | ? |
| 3 | ? |
| 4 | ? |
| 5 | ? |
| 6 | ? |
| число мячей | число команд |
| 3 | 1 |
| 6 | ? |
| 9 | ? |
| 12 | ? |
| 15 | ? |
| 18 | ? |
Придумай рассказ про число редисок в пучках так, чтобы все
величины находились в том же отношении, в каком находятся
величины в этом рассказе.
2.2. У Пети а рублей. Он купил b пакетиков орешков,
каждый из которых стоит с рублей. После чего у него не осталось
денег.
Нарисуй картинку. На какие вопросы можно ответить о величинах,
про которые говориться в рассказе?
Запиши выражения для a, b, c.
Какие числа можно поставить в каждое из этих выражений вместо
a, b, c?
Продолжи рисунок:
Заполни таблицу:
| рубли | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 |
| пакетики | 2 | ? | ? | ? | ? | ? | ? |
Придумай такой рассказ про кроликов в клетках, чтобы все
величины находились в том же отношении.
2.3. У Ани а коробок цветных карандашей и b коробок с гуашью. На
урок рисования её надо взять одну коробку карандашей и одну коробку
с гуашью. Различных наборов из двух коробок ей хватило на с
уроков рисования.
На какие вопросы о величинах, про которые говориться в рассказе,
можно ответить?
Продолжи рисунок:
Запиши выражения для a, b, c.
Какие числа можно поставить в каждое из этих выражений вместо
a, b, c?
Продолжи рисунок:
Какое количество коробок с красками соответствует этому рисунку?
Заполни таблицу:
Придумай похожий рассказ про блузку и юбки у кати.
2.4. На швейной фабрике из куска ткани длиной а м. Шьют b платьев.
На каждое платье расходуется с м. ткани.
О каких величинах здесь говориться? На какие вопросы об этих
величинах можешь ответить?
Отметь на рисунке числовые значения величин:
Запиши выражения для a, b, c.
Какие числа можно поставить в эти выражения вместо a, b, c?
Продолжи рисунок:
Заполни таблицу:
| число метров | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | 24 | 28 | 32 |
| число платьев | 1 | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? |
Придумай рассказ про массу печенья в ящиках так, чтобы все
величины находились в том же отношении.
2.5. Каждый час токарь изготавливает а деталей. За b часов
он изготовил с деталей.
На какие вопросы о величинах, о которых здесь сказано, ты можешь
ответить? Отношения между этими величинами можно изобразить с
помощью последовательности:
Запиши выражения для a, b, c. Какими числами можно заменить в этих
выражениях a, b, с?
Продолжи рисунок:
Заполни таблицу:
| время работы | 6 | 12 | 18 | 24 | 30 | 36 | 42 | 48 | 54 | 60 |
| число деталей | 5 | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? |
Придумай рассказ про то, как бригада второклассников
изготавливает елочные украшения, так чтобы все величины находились
в том же отношении.
2.6. За одну минуту улитка проползает а см. b см. она проползла с
мин. На какие вопросы о величинах, о которых здесь сказано, ты можешь
ответить?
Отметь на рисунке числовые значения величин:
Запиши выражения для a, b, c. Какие числа можно поставить в эти
выражения вместо a, b, c?
Продолжи рисунок:
Заполни таблицу:
| время движения, мин | 1 | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? |
| длинна пути, см | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | 20 |
Придумай рассказ про спортсмена, который пробегает определенную
дистанцию, так чтобы все величины находились в таком же отношении.
Пример 3:
3.1. В одном кармане у Кати 5 конфет, а в другом – 2. Сколько
конфет у Кати в двух карманах?
- О каких величинах говориться в этой задаче? (о количествах
конфет в одном кармане; в другом кармане; в двух карманах.)
- Числовые значения каких из этих величин известны, а каких –
неизвестны?
- Как можно изобразить эти величины? Нарисуем картинку.
Сначала нарисуем количество конфет в одном кармане а):
Потом – количество конфет в другом кармане б).
Затем – количество конфет в обоих карманах в).
Это количество неизвестно, его требуется найти, поэтому поставим
знак вопроса.
Что нужно сделать с неизвестными количествами, чтобы найти
неизвестное? (Их надо сложить).
3.2. Маша вырезала сначала 3 снежинки, потом ещё 4. Сколько
снежинок вырезала Маша?
- О каких величинах говориться в задаче?
- Как Маша вырезала снежинки? (Последовательно, одну за одной.)
Как можно изобразить величины, о которых идет речь в задаче?
Нарисуем последовательность:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 …
Отметим числовые значения тех величин, которые известны. Получим:
Покажем числовое значение величины, которую нужно найти:
Какое действие надо произвести с известными величинами, чтобы найти
неизвестную?
3.3. Мама израсходовала на кашу 4 кружки молока, а 2 кружки
выпили дети. Сколько кружек молока было израсходовано?
Чтобы изобразить величины, рассматриваемые в задаче, а это 3
емкости, причем меры двух из них неизвестны, а третью требуется
найти. Возьмем произвольный отрезок в качестве изображения емкости
одной кружки, т. е. единицу измерения. Тогда получим картинку:
Она показывает, что искомая величина может быть найдена как сумма
известных величин.
3.4. У Маши было несколько тетрадей. Мама купила ей ещё 5.
После того как первоначальный запас тетрадей израсходовался, у
неё осталось на 2 меньше, чем было сначала. Сколько тетрадей
израсходовала Маша?
В этой задаче описаны следующие величины:
Количество тетрадей: а) которое было у Маши; б) которое ей купила
мама; в) которое она израсходовала; г) которое у неё осталось;
д) на которое уменьшилось первоначальное число тетрадей.
Все остальные величины неизвестны. Требуется найти количество
израсходованных Машей тетрадей.
Те тетради, которые были сначала у Маши и количество которых
неизвестно, обозначим крестиками, а тетради, купленные мамой,
обозначим знаками последовательности 1 2 3 4 5 6 7 …
Тогда получим:
Так как у Маши осталось на 2 тетради меньше, то она взяла из тех,
что были ещё 2 тетради, кроме вновь купленных. Покажем это так:
Тогда все израсходованные тетради можно обозначить с помощью
последовательности:
Эта картинка показывает, что количество израсходованных Машей
тетрадей есть сумма количества тетрадей, которое купила мама,
и количества на которое уменьшился их первоначальный запас.
Можно сказать: «Так как тетрадей осталось меньше, чем было до
покупки, то израсходованы все, что купили, и те, что были».
3.5. В вазе лежали сливы. Ваня съел 5. После чего мама
положила в вазу ещё 8 слив. Как изменилось их количество?
Все четыре количества слив, соответствующие последовательным
моментам времени, неизвестны. Известны только два изменения, а
требуется найти результирующее. Поэтому задачу следует отнести к
сложным.
При анализе условия полезно рассмотреть две вспомогательные задачи:
а) В вазе лежали сливы. Мама положила ещё 8 слив. После чего Ваня
съел 5. Как изменилось количество слив в вазе?
б) В вазе лежало 8 слив. Ваня съел 5. Как изменилось их число в
вазе? Сколько слив осталось?
Задача б) не представляет особых трудностей. Её вспомогательная
модель может быть такова:
Ответ очевиден: число слив в вазе уменьшилось на 5, осталось
3 сливы.
Задача 3.5. а) отличается тем, что увеличение и уменьшение
исходного количества слив поменялись местами. Что легче
воспринимается? Легче представить то, что именно из этих 8 слив
и были съедены 5. графическую модель этой ситуации можно
представить так:
Рисунок показывает, на сколько задача а) сложнее задачи б).
Причем можно отметить, что в этой ситуации первоначально в вазе
могло и не быть слив. В то время как в исходной ситуация такова,
что первоначальное число слив в вазе не могло быть меньше 5.
Поэтому графическая модель ситуации должна быть изменена:
Следует отметить, что в результате описанных изменений количество
слив может как уменьшаться, так и увеличиваться в зависимости от
того, как относятся числа съеденных и добавленных слив.
3.6. Рассмотрим 3 задачи:
а) Мастер изготавливает 15 деталей за 3 часа. Сколько деталей
изготавливает мастер за 1 час, если каждый час он изготавливает
одно и то же количество деталей?
б) Поезд за 4 часа прошел путь длинной в 160 километров. Сколько
километров в среднем он проходил за 1 час? (С какой средней
скоростью двигался поезд?)
в) На пошив 12 одинаковых платьев расходуется 36 метров ткани.
Сколько ткани расходуется на 1 платье?
В каждой из этих задач описывается некоторый процесс, который
прямолинейно и равномерно протекает во времени. Причем в последней
задаче время присутствует неявно, тем не менее ясно, что пошив
не может протекать иначе как процесс во времени.
а) Так как мастер изготавливает одно и то же количество деталей
за 1 час, то количество деталей, изготовленных за 2 часа увеличится
в 2 раза, а за 3 часа – в 3 раза. Значит, 15 деталей больше, чем
количество деталей, изготовленных за 1 час, в 3 раза, а количество
деталей, изготовленных за 1 час в 3 раза меньше, чем 15. Если
возьмем все изготовленные мастером детали, то их нужно распределить
по 3 часа поровну. Это можно изобразить так:
Чтобы поровну в каждый час распределить 15 деталей, поступаем
так: «берем» одну деталь и относим её в первый час, потом
«берем» другую деталь и относим её во второй час, затем «берем»
третью и относим её в третий час. Так поступаем до тех пор,
пока не распределим все детали.
б) Длину пути, который проходит поезд за 4 часа, также надо
распределить на 4 равные части. Чтобы изобразить процесс
движения поезда, возьмем произвольный отрезок, длину которого
будем считать равной 20 км. Тогда пройденный путь изобразиться
отрезком так:
В задаче 3.6. в) необходимо разбить на равные части 36 км.
Изобразим произвольным отрезком ткань, которая идет на пошив
одного платья. Тогда всю израсходованную ткань можно представить
так:
Рисунок показывает, что на одно платье расходуется в 12 раз меньше
ткани, чем на 12 таких платьев.
В каждой из этих задач требуется найти величину, которая остается
неизменной в течении всего процесса, если известно, как
изменяются во времени две другие величины, причем их изменение
таково, что с изменением одной из них в несколько раз, во столько
же раз и изменяется и другая величина. Так, если бы мастер
изготовил 45 деталей, то ему потребовалось бы работать в 3 раза
дольше, т. е. 9 часов.
Если бы поезд двигался не 4 часа, а 2 часа, то пройденный им путь
был бы в 2 раза меньше, т. е. 80 км. Если бы взяли ткани в 3
раза меньше, т. е. 12 метров, то и платьев сшили бы в 3 раза
меньше, а именно 4.
3.7. Скорость автомобиля в 5 раз больше скорости лошади.
Во сколько раз меньше времени понадобиться автомобилю, чем лошади,
чтобы пройти одно и то же расстояние?
За каждую единицу времени автомобиль в 5 раз больше скорости
лошади. Во сколько раз меньше времени понадобиться автомобилю,
чем лошади, чтобы пройти одно и то же расстояние?
За каждую единицу времени автомобиль проходит расстояние в 5
раз больше, чем лошадь. Поэтому то расстояние, которое проходит
за 5 единиц времени лошадь, автомобиль проезжает за 1 единицу
времени.
3.8. Ученик изготавливает на 2 детали меньше, чем мастер
за каждый час работы. На сколько больше деталей изготовит мастер,
чем ученик за 6 часов работы?
Мастер за каждый час работы изготавливает столько же деталей,
сколько и ученик и, кроме того, ещё 2. Это можно представить так:
Мастер изготовил на 6 деталей больше, чем ученик. Сколько
дополнительного времени потребуется ученику, чтобы изготовить
столько же деталей, если он изготавливает в час на 2 детали
меньше мастера?
3.9. Маша находится на расстоянии 10 метров от Пети.
Сколько минут потребуется Пете, чтобы догнать Машу, если он
бежит со скоростью на 2 м/мин больше, чем Маша?
За 1 минуту Петя пробежит на 2 метра больше, чем Маша.
Следовательно, расстояние между ними за минуту сократиться на 2
метра. За следующую минуту ещё на 2 метра. Чтобы догнать Машу,
Пете нужно сократить расстояние на 10 метров. Это можно изобразить
так:
Петя бежит со скоростью на 2 м/мин больше, чем скорость Маши.
На сколько больше метров пробежит Петя, чем Маша за 12 минут?
Так же, как в предыдущем примере, эта задача позволяет углубить
понимание описанного в исходной задаче процесса.