Пирамида Паскаля
Пирамида Паскаля следует тем же правилам. Она выглядит так:
Коэффициенты для трех слагаемых мы получаем почленно перемножая коэффициенты основания треугольника Паскаля для данной степени на коэффициенты всего треугольника, повернутого на угол 90 градусов. Например для третьей степени это будет выглядеть так:
А как же будет выглядеть фигура для четырех слагаемых? Если для нахождения коэффициентов для двух слагаемых мы использовали плоскость, для трех - 3D пространство, то для четырех мы будем рассматривать гиперпирамиду, находящуюся в 4D пространстве. Неограниченная пирамида Паскаля будет являться простым внешним
объемом гиперпирамиды.
Данная фигура является четырехмерным аналогом тетраэдра. Вот несколько тетраэдров для разных степеней в 4D пространстве:
Попробуем изобразить трехмерное сечение данной четырехмерной фигуры:
Сечение будет иметь вид тетраэдра, каждая грань которого является двумерным сечением пирамиды Паскаля. Очевидно, что четырехмерную фигуру никак нельзя задать в трехмерном пространстве. Поэтому выстроить данные сечения в какую-либо фигуру никак нельзя. Например для n=3 каждая грань будет представлять собой сечение для третьей степени пирамиды Паскаля.
Но для n>3 начинают проявляться особенности гиперпирамиды: коэффициенты начинают располагаться внутри сечения. Новые коэффициенты располагаются в сечениях трехмерной пирамиды Паскаля. Эти треугольники вершинами лежат на поверхности сечения(поэтому у сечения все три стороны содержат равные коэффициенты). Данный факт является одним из основных в нижеприведенном алгоритме). Например для степени 4 появляется коэффициент 24. Для степени 5 появляются коэффициенты 60,60,60,60. Можно задать формулой сумму этих коэффициентов. Возьмем х=1, у=1, w=l, z=l, то сумма всех коэффициентов равна 4^n. 4^n=3^n+3^n+2(2*З^n-ЗЕ-2)+х, где х- искомое число, Е- сумма коэффициентов n строки треугольника Паскаля, а 3^n - сумма коэффициентов 1 грани сечения. Вывод формулы очевиден, если взглянуть на рисунок сечения.
Тогда Х=4^n-4*3^n+6Е-4 (данная формула помогла вывести нижеприведенный алгоритм).
Действительно для n=4 х=24, а для n=5 х=240, для n=6 х=1560 и так далее. Данные коэффициенты будут образовывать сечения, лежащие внутри гиперпирамиды. Сравним с треугольником Паскаля.
В треугольнике Паскаля коэффициенты лежат внутри треугольника, начиная с 2 степени. Теперь рассмотрим коэффициенты для 6 степени. "Лишние" коэффициенты 180, 180, 180, 180, 180, 180, 120, 120, 120, 120. Их сумма равна 1560.
