Последнее соотношение можно переписать в виде а из соотношений 1-4 получаем
Образовался треугольник Паскаля, каждый элемент которого
Именно это фундаментальное свойство треугольника Паскаля связывает его не только с комбинаторикой и теорией вероятностей, но и с другими областями математики и ее приложений.
Теперь рассмотрим свойства строк треугольника Паскаля:
- Сумма чисел n-й строки Паскаля равна 2 n (потому что при переходе от каждой строки к следующей сумма членов удваивается, а для нулевой строки она равна 2 0=1)
- Все строки Паскаля симметричны (потому что при переходе от каждой строки к следующей свойство симметричности сохраняется, а нулевая строка симметрична)
- Каждый член строки Паскаля с номером п тогда и только тогда делится на т, когда т- простое число, an- степень этого простого числа
Нахождение элемента треугольника
Каждое число в треугольнике Паскаля можно определить тремя способами. Оно равно Cnk, где n - номер строки, k- номер элемента в строке. Докажем, что оно равно сумме чисел предыдущей диагонали, начиная со стороны треугольника и кончая числом, стоящим над данным (в силу симметричности треугольника Паскаля докажем это утверждение для левой диагонали).
Мы должны проверить следующее равенство:
Действительно,
Каждое число треугольника Паскаля, уменьшенное на единицу, равно сумме всех чисел, заполняющих параллелограмм, ограниченный теми правой и левой диагоналями, на пересечении которых стоит данное число, причем сами эти диагонали в рассматриваемый параллелограмм не включаются. Докажем это. Данное число равно сумме чисел предыдущей диагонали, начиная со стороны треугольника и кончая числом, стоящим над ним. В свою очередь, последний член этой суммы равен сумме элементов предыдущей диагонали и т.д. Продолжая этот процесс, придем к сумме чисел требуемого параллелограмма и еще одного члена, стоящего на стороне треугольника и равного 1.
