Решение задач с применением треугольника Паскаля
Старинные задачи о случайном..
Еще в глубокой древности появились различные азартные игры. В Древней Греции и Риме широкое распространение получили игры в астрагалы, когда игроки бросали кости животных. Также пользовались популярностью игральные кости - кубики с нанесенными на гранях точками. Позднее азартные игры распространились в средневековой Европе.
Эти игры подарили математикам массу интересных задач, которые потом легли в основу теории вероятностей. Очень популярны были задачи о дележе ставки. Ведь, как правило, игра велась на деньги: игроки делали ставки, а победитель забирал всю сумму. Однако игра иногда прерывалась раньше финала, и возникал вопрос: как разделить деньги.
Многие математики занимались решением этой проблемы, но до середины XVII века так и не нашли его. В 1654 году между французскими математиками Блезом Паскалем, уже хорошо известным нам, и Пьером Ферма возникла переписка по поводу ряда комбинаторных задач, в том числе и задач о дележе ставки. Оба ученых, хотя и несколько разными путями, пришли к верному решению, деля ставку пропорционально вероятности выигрыша всей суммы при продолжении игры.
Следует отметить, что до них никто из математиков вероятность событий не вычислял, в их переписке теория вероятностей и комбинаторика впервые были научно обоснованы, и поэтому Паскаль и Ферма считаются основателями теории вероятностей.
Рассмотрим одну из задач Ферма, решенную Паскалем с помощью своей числовой таблицы.
Пусть до выигрыша всей встречи игроку А недостает двух партий, а игроку В - трех партий. Как справедливо разделить ставку, если игра прервана?
Паскаль складывает количество партий, недостающих игрокам, и берет строку таблицы, в которой количество членов равно найденной сумме, т.е. 5. Тогда доля игрока А будет равна сумме трех (по количеству партий, недостающих игроку В) первых членов пятой строки, а доля игрока В -сумме оставшихся двух чисел. Выпишем эту строку: 1,4,6,4, 1. Доля игрока А равна 1+4+6=11, а доля В - 1+4=5.
Олимпиадная задача.
Имеется сеть дорог. Из точки А выходят Половина идет по направлению 1, половина - по направлению т. Дойдя до первого перекрестка, каждая группа разделяется: половина идет по направлению 1, половина по направлению т. Такое же разделение происходит на каждом перекрестке. Сколько людей придет в каждый из перекрестков тысячного ряда?
Заметим, прежде всего, что мы пока не знаем, имеет ли задача решение, т.е. может ли движение людей происходить так, как требует условие задачи. Ведь если на какой-то перекресток, на котором предстоит очередное деление людского потока пополам, придет нечетное число людей, то движение застопорится. Следовательно, чтобы задача имела решение, необходимо и достаточно, чтобы в каждый перекресток любого из первых тысячи рядов, от нулевого до девятьсот девяносто девятого, пришло четное число людей. Мы убедимся, что это так, решая задачу.
Начнем с того, что введем обозначения для количества людей, прошедших через каждый перекресток нашей сети дорог. Будем нумеровать перекрестки каждого ряда слева направо, начиная с нулевого; перекрестки n-го ряда, следовательно, будут нумероваться от 0-го до n-го. Число людей, прошедших через k-й перекресток n-го ряда, обозначим Поскольку пока еще неизвестно, имеет ли задача решение, мы не можем быть уверены, что все числа существуют, т.е. что существует каждое из чисел при любом n от 0 до 1000 и любом k от 0 до n. Некоторые из них, во всяком случае, существуют. Так, в силу введенных обозначений
Посмотрим теперь, как связаны между собой числа (k=0,l,2...,n) и (k=0,l,2,....,n+1)
При условии, что все они существуют. Изучая эту связь, мы сможем затем установить, что все числа при 1000 >= п действительно существуют. Рассмотрим n-й и (n+1)-й ряды перекрестков и соединяющие их участки дорог; против каждого перекрестка поставим обозначение соответствующего числа людей.
Количество людей, вышедших из 0-го перекрестка n-го ряда (т.е. ), разделится пополам, и одна половина придет в 0-й перекресток (n+1)-го ряда; поэтому
Другая половина от придет в 1-й перекресток (n+1)-го ряда и там соединится с
половиной людей, вышедших из 1-го перекрестка n-го ряда, т.е. с половиной Поэтому
И вообще, количество людей, пришедших на k-й перекресток (n+1)-го ряда, слагается из половины количества людей, вышедших из (k-l)-ro перекрестка n-го ряда. А половина количества людей, вышедших из k-го перекрестка n-го ряда, равна таким образом,
Наконец, число людей, пришедших на (n+1)-й перекресток (n+1)-го
ряда,
равно половине числа людей, вышедших из n-го перекрестка n-го ряда:
Эти соотношения позволяют установить, что задача действительно имеет решение. Применяя последовательно эти соотношения, начиная с нулевой строки, мы в принципе можем вычислить значения для всех 501501 перекрестков, содержащихся в рядах до тысячного включительно, в частности, для всех перекрестков тысячного ряда, и тем самым решить задачу. Так, для первых рядов непосредственным вычислением находим:
Аналогично находим числа остальных рядов до 1000-го.
Мы решили задачу без применения свойств треугольника Паскаля. Однако, это довольно легко можно сделать. Зная свойства таблицы, при помощи так называемой операции Паскаля, можно установить, что решениями задачи будут являться все члены 1000-й строки треугольника:
