Игра "крестики - нолики"
В 1926 году Бартель Л. Ван дер Варден доказал, что если n - достаточно большое число и если все числа от 1 до n произвольным образом раскрасить каким-нибудь из двух цветов, то всегда найдётся одноцветная арифметическая прогрессия с определённым числом членов. В 1963 году А. Хейлз и Р. Джуитт открыли то, что оказалось сутью теоремы Ван дер Вардена, изучая игру "крестики-нолики". Хотя классический вариант этой игры с игровым полем размером три на три может быстро наскучить, трёхмерный вариант с четырьмя полями в каждом ряду весьма интересен. "Доской" для трёхмерной игры служит куб, разбитый на 64 ячейки. Игроки по очереди заполняют ячейки крестиками или ноликами, пока один из них не выигрывает, заполнив четыре ячейки, расположенные на одной прямой. И двумерная, и трёхмерная игра порой кончается ничьей. А как обстоит дело в случае игр более высокой размерности? Можно ли гарантировать выигрыш в некотором n-мерном варианте крестиков и ноликов с к элементами на одной прямой?
Хейлз и Джуитт показали, что если размерность n достаточно велика, то всегда можно найти вариант игры с к элементами на одной прямой, который никогда не кончается ничьей. Например, независимо от того, как расположены крестики и нолики в трёхмерной игре с тремя элементами в ряду, всегда либо три крестика будут расположены на одной прямой, либо три нолика.
Теорему Ван дер Вардена можно вывести из результата Хейлза и Джуитта, применив преобразование, переводящее прямые этой игры в арифметические прогрессии. Рассмотрим трёхмерную игру с тремя элементами в ряду.
Координаты крестиков в этой выигрышной комбинации суть 121, 222 и 323; рассматриваемые как числа, они образуют арифметическую прогрессию. Можно показать, что всякая выигрышная комбинация, преобразованная этим методом, даёт арифметическую прогрессию.
