Обозначим фокусы эллипса буквами и . Расстояние между ними - фокальное расстояние , и . Если - произвольная точка эллипса, то по определению эллипса - характеристическое уравнение эллипса .

        Введем систему координат: , и . Тогда фокусами будут точки и .

        Пусть - любая точка эллипса, тогда

        Запишем характеристическое уравнение эллипса в координатной форме:

        Преобразуем равенство:

        Перенесем в левую часть равенства выражение, содержащее корень:

        Так как , то . Пусть , то

- каноническое уравнение эллипса .

        Докажем обратное: если точка удовлетворяет уравнению , то принадлежит эллипсу. Докажем .

        Из уравнения, удовлетворяющего координатам точки выразим

        Подставим данное значение в координаты расстояния от текущей точки эллипса до одного из его фокусов.

        Так как , то . Получаем:

        Аналогично выхолит, что . Рассмотрим сумму . Оценим выражения, стоящие под знаком модуля.

        Так как , то .

        Так как ,, , , то .

        А при - .

        Тогда можем сложить равенства:.

        Что и требовалось доказать, принадлежит эллипсу.