Образцы решений основных задач
§ 1. Многочлены над
областью целостности
- Задача 11. Найдите значение многочлена f(x) и всех его
- производных при х = –2.
Решение.
- 1.Применяя схему Горнера разложим данный многочлен по
- степеням двучлена (х + 2).
|
|
2 |
16 |
50 |
72 |
47 |
|
–2 |
2 |
12 |
26 |
20 |
7 |
|
–2 |
2 |
8 |
10 |
0 |
|
|
–2 |
2 |
4 |
2 |
|
|
|
–2 |
2 |
0 |
|
||
|
–2 |
2 |
|
- Значит, f(x) = 2(х + 2)4
+ 2(х + 2)2 + 7
- или
f(x) = 7 + 2(х +
2)2 + 2(х + 2)4.
- 2. Для ответа на поставленный вопрос воспользуемся формулой
- Тейлора (см. задачу 8). Заключаем:
f(–2) =
Ответ: f(–2) =
Замечания.
- 1.Ответ на поставленный вопрос можно было получить
- непосредственной подстановкойзначения х = –2 в многочлен f(x) и
- его производные, найденные непосредственно поопределению
- производной многочлена. В большинстве случаев мы приходим к
- громоздким вычислениям.
- 2.Второе действие задачи можно было выполнить по-другому,
- воспользовавшисьопределением производной многочлена.
Продемонстрируем это.
- f(–2) = 7 – это вполне очевидно из разложения многочлена f(x)
- по степенямдвучлена (х + 2).
f I(х) = (2(х
+ 2)4 + 2(х + 2)2 + 7)1 = 8(х + 2)3
+ 4(х + 2) Þ f I(–2) = 0.
f II(х) =
(8(х + 2)3 + 4(х + 2))1 = 24(х + 2)2 + 4 Þ f II(–2) = 4.
f III(х) = (24(х
+ 2)2 + 4)1 = 48(х + 2) Þ f III(–2) = 0.
fIV (х) = (48(х + 2))1 = 48 Þ fIV
(–2) = 48.