practica

Образцы решений основных задач

§ 1. Многочлены над областью целостности

Задача 1. Для многочленов f(x) и q(x) найдите их сумму, разность и произведение, зная, что f(x) = 2x⁴ – 4x³+ 6x – 2, g(x) = –2x³ + 3x² + 4x + 3.

Решение.

1. Сумму многочленов f(x) и g(x) находим поправилу «раскрыть

скобки и привести подобные»:

f(x) + g(x) = (2x⁴ – 4x³+6x – 2) + (–2x³ + 3x² + 4x+ 3) =

= 2x⁴ – 4x³+ 6x – 2 – 2x³ + 3x² + 4x + 3 = 2x⁴ + (–4 –2)x³+ 3x² + (6 + 4)х +

+ (–2 + 3) = 2x⁴ – 6х³ + 3х² + 10х + 1.

2. Разность многочленов f(x) и g(x) находим по правилу «раскрыть

скобки и привестиподобные»:

f(x) – g(x) = (2x⁴ – 4x³+6x – 2) – (–2x³ + 3x² + 4x+ 3) =

=2x⁴ – 4x³+ 6x – 2 + 2x³ – 3x² – 4x– 3=

= 2x⁴ + (–4 + 2)x³– 3x² + (6 – 4)х + (–2 – 3) = 2x⁴ – 2х³ – 3х² + 2х – 5.

3. Произведение многочленов f(x) и g(x) находим по правилу

«раскрыть скобки и привести подобные»:

f(x) × g(x) = (2x⁴ – 4x³+6x – 2) × (–2x³ + 3x² + 4x+ 3) =

=–4x⁷ + 12x⁶– 12x⁴ +4x³ + 6x⁶ – 12x⁵ + 18х³ – 6х² + 8х⁵ –16х⁴+24х²–

– 8х + 6х⁴–12х³+ + 18х – 6 =

= –4х⁷ + (12 + 6)x⁶+ (–12 + 8)х⁵ + (–12 – 16 + 6)x⁴ + (4 + 18 – – 12)х³+

+(–6 + 24)х² + (–8 + 18)х + 6 = –4х⁷ + 18х⁶ – 4х⁵ –

– 22х⁴ + 10х³ + 18х² + 10х + 6.

Ответ: f(x) + g(x) =2x⁴ – 6х³ + 3х² + 10х + 1;

f(x) – g(x) = 2x⁴ – 2х³ – 3х² + 2х – 5;

f(x) × g(x) = –4х⁷ + 18х⁶ – 4х⁵ – 22х⁴ + 10х³ + 18х² + 10х + 6.