practica

Образцы решений основных задач

§ 1. Многочлены над областью целостности

Задача 4. Разделите с остатком многочлен
f(x) = 5х⁶ – 3х⁴ – 2х³ + 3х² – 4х + 8 на двучлен (х – 4) (А) и многочлен
g(х) = iх⁶ + 3х⁵ – (2 + i)х⁴ – 2iх²– 4 на двучлен (х + 1 + i) (Б).

Решение.

Длявыполнения задания в обоих случаях примем схему Горнера которая представляетсобой алгоритм, позволяющий многочлен f(x) разделить надвучлен (х – с).

А) В этом случае с = 4. Заполняем схему Горнера:

	5	0	–3	–2	3	–4	8
4	5	20	77	306	1227	4904	19624

Получаем:

f(x) = (х – 4) × (5х⁵ + 20х⁴ + 77х³ + 306х² + 1227х + 4904) + 19624.

Ответ:

f(x) = (х – 4)× (5х⁵+20х⁴ + 77х³ + 306х² + 1227х + 4904) + 19624.

Б) Так как х + 1 + i = х – (–1 – i), то здесь с = –1 – i. Заполняем схему
Горнера

	i	3	–(2+ i)	0	–2i	0	–4
–1 –i	i	4–i	–7–4i	3+7i	4-12i	–16+8i	20+8i

Получаем:

q(x) = (х + 1 + i) ×(ix⁵ + (4 – i)x⁴ – (7 + 4i)x³ + (3 + 7i)x² + (4 –12i)x –

– 16 + 8i + (20 + 8i).

Ответ:

q(x) = (х + 1 + i) ×(ix⁵ + (4 – i)x⁴ – (7 + 4i)x³ + (3 + 7i)x² +

+ (4 – 12i)x – 16 + 8i) + (20 + 8i).