Образцы решений основных задач

§ 1. Многочлены над областью целостности

                Задача 8. Разложите многочлен f(x)  = 2х4 – 3х3 + 5 по степеням
двучлена g(x) = x – 1.

            Решение.

            Вполне очевидно, что ответ должен выглядеть так:

f(x) = а4(х – 1)4 + а3(х –1)3 + а2(х – 1)2 + а1(х – 1) + а0.

             Перепишем это равенство по-другому:

f(x) = (((а4(х – 1)+ а3 ×(х –1)+ а2)(х – 1)+ а1(х – 1)+ а0 = q1(х)(х – 1)+а0;

g1(х) = ((а4(х – 1)+ а3)(х –1)+ а2)(х – 1)+ а1 = q2(х)(х – 1) + а1;

g2(х) = (а4(х – 1)+ а3)(х –1)+ а2 = q3(х)(х – 1) + а2;

g3(х) = а4(х – 1)+ а3.

            Видим, что а0 естьостаток от деления многочлена f(x) на (х–1),
а1 есть остаток от деления q1(х) на (х – 1) и так далее.
             Следовательно, искомыекоэффициенты можно найти с помощью схемы Горнера.
             Значит, f(x) = 2(х – 1)4 + 5(х –1)3 + 3(х – 1)2 – (х – 1) + 4.
 
 
             Ответ: f(x) = 2(х – 1)4 + 5(х –1)3 + 3(х – 1)2 – (х – 1) + 4.
            Как видно из этой формулы, длярешения задачи нужно найти
все производные многочлена f(x) и вычислитьзначение многочлена
f(x) и его производных при х = 1.
             Получаем:

f (x) = 2х4 – 3х3 + 5;                           f (1) = 2 × 14 – 3 × 13 + 5= 4.

f I (x) = 8х3 – 9х2;                               f I (1) = 8 × 13 – 9× 12 = –1.

f II (x) = 24х2 – 18х;                          f II(1) = 24 × 12 – 18× 1 = 6.

f III (x) = 48х – 18;                             f III (1) = 48 × 1 – 18 = 30.

fIV (x) = 48;                                           fIV (1) = 48.

                Подставим это в формулу Тейлора, получим:

 или

f(x) = 2(х – 1)4 + 5(х –1)3 + 3(х – 1)2 – (х – 1) + 4.

                              Copyright © 2008-2009 Овчинников А.В.  Филиал КГПУ. Все права защищены.