Образцы решений основных задач
§ 1. Многочлены над
областью целостности
- Задача
8. Разложите многочлен f(x) = 2х4 – 3х3 + 5 по степеням
- двучлена g(x) = x – 1.
Решение.
Вполне очевидно, что ответ
должен выглядеть так:
f(x) = а4(х
– 1)4 + а3(х –1)3 + а2(х – 1)2
+ а1(х – 1) + а0.
Перепишем это равенство
по-другому:
f(x) = (((а4(х
– 1)+ а3 ×(х –1)+ а2)(х – 1)+ а1(х – 1)+ а0 = q1(х)(х –
1)+а0;
g1(х) = ((а4(х
– 1)+ а3)(х –1)+ а2)(х – 1)+ а1 = q2(х)(х –
1) + а1;
g2(х) = (а4(х
– 1)+ а3)(х –1)+ а2 = q3(х)(х –
1) + а2;
g3(х) = а4(х
– 1)+ а3.
- Видим, что а0 естьостаток от деления многочлена f(x) на (х–1),
- а1 есть остаток от деления q1(х) на (х
– 1) и так далее.
Следовательно, искомыекоэффициенты можно найти с помощью схемы Горнера.
- Значит,
f(x) = 2(х – 1)4
+ 5(х –1)3 + 3(х – 1)2 – (х – 1) + 4.
-

-
- Ответ: f(x) = 2(х – 1)4
+ 5(х –1)3 + 3(х – 1)2 – (х – 1) + 4.
- Как видно из этой формулы, длярешения задачи нужно найти
- все производные многочлена f(x) и вычислитьзначение многочлена
- f(x) и его производных при х = 1.
- Получаем:
f (x) = 2х4 – 3х3 + 5; f (1) =
2 × 14 – 3 × 13 + 5= 4.
f I
(x) = 8х3 – 9х2; f I (1) =
8 × 13 – 9× 12 = –1.
f II
(x) = 24х2 – 18х; f II(1) = 24 × 12 – 18× 1 = 6.
f III (x) = 48х – 18; f III (1) = 48 × 1 – 18 = 30.
fIV (x) = 48; fIV (1) = 48.
Подставим это в формулу Тейлора,
получим:
или
f(x) = 2(х – 1)4
+ 5(х –1)3 + 3(х – 1)2 – (х – 1) + 4.
|