|
Образцы решений основных задач
§ 1. Многочлены над
областью целостности
Задача
1. Для многочленов f(x) и q(x) найдите их сумму, разность и произведение, зная, что f(x) = 2x4 – 4x3+ 6x – 2, g(x) = –2x3 + 3x2 + 4x + 3.
Решение.
1. Сумму многочленов f(x) и g(x) находим поправилу «раскрыть
скобки и привести подобные»:
f(x) + g(x) = (2x4 – 4x3+6x – 2) + (–2x3 + 3x2 + 4x+ 3) =
= 2x4 – 4x3+ 6x – 2 – 2x3 + 3x2 + 4x + 3 = 2x4 + (–4
–2)x3 + 3x2 + (6 +
4)х +
+ (–2 + 3) = 2x4 – 6х3
+ 3х2 + 10х + 1.
2. Разность многочленов f(x) и g(x) находим по правилу «раскрыть
скобки и привестиподобные»:
f(x) – g(x) = (2x4 – 4x3+6x – 2) – (–2x3 + 3x2 + 4x+ 3) =
=2x4 – 4x3+ 6x – 2 + 2x3 – 3x2 – 4x– 3=
= 2x4 + (–4 + 2)x3 – 3x2 + (6 – 4)х + (–2 – 3) = 2x4 – 2х3
– 3х2 + 2х – 5.
3. Произведение многочленов f(x) и g(x) находим по правилу
«раскрыть скобки и привести подобные»:
f(x) × g(x) = (2x4 – 4x3+6x – 2) × (–2x3 + 3x2 + 4x+ 3) =
=–4x7 + 12x6– 12x4 +4x3 + 6x6 – 12x5 + 18х3
– 6х2 + 8х5 –16х4+24х2–
– 8х + 6х4–12х3+ + 18х – 6 =
= –4х7 + (12 + 6)x6 + (–12 + 8)х5 + (–12 – 16 + 6)x4 + (4 +
18 – – 12)х3+
+(–6 + 24)х2
+ (–8 + 18)х + 6 = –4х7 + 18х6 – 4х5 –
– 22х4 + 10х3 + 18х2
+ 10х + 6.
Ответ: f(x) + g(x) =2x4 – 6х3 + 3х2 + 10х + 1;
f(x) – g(x) = 2x4 – 2х3
– 3х2 + 2х – 5;
f(x) × g(x) = –4х7 + 18х6 – 4х5
– 22х4 + 10х3 + 18х2 + 10х + 6.
Задача
2. Найдите квадрат и куб многочлена f(x)=2x4 – 3x2 + x – 1.
Решение.
- 1. Используя формулы квадратасуммы и квадрата разности двух
- выражений, вычислим квадрат многочлена f(x).
(f(x) )2=(2x4–3x2+x–1)2=((2x4–3x2)+(x–1))2=(2x4–3x2)2+
+2×(2x4–3x2)×(x–1)+(x–1)2=(2x4)2–2×(2x4)×(3x2)+(3x2)2–
–2×(2x5–3х3–2х4+3х2)+х2–2×х×1+12=4х8–12х6+9х4–
– 4х5 + 6х3
+ 4х4 – 6х2 + х2 – 2х + 1 = 4х8 –
12х6 – 4х5 + 13х4 + 6х3 –
– 5х2 –
2х + 1.
- 2. Используя формулы куба суммы,куба разности и квадрата
- разности двух выражений, вычислим куб многочлена f(x).
(f(x) )3
= (2x4 – 3x2 + x – 1)3 = ((2x4 – 3x2) + (x – 1))3 = (2x4 – 3x2)3
+
+ 3 × (2x4 – 3x2)2 × (x – 1) + 3×(2x4 – 3х2) × (x – 1)2 +(х
– 1)3 = (2x4)3 –
– 3×(2x4)2 × (3х2) + 3×(2х4)×(3х2)2 – (3х2)3
+ (4х8 – 12х6 + 9х4)×(3х – 3) +
+ (6х4 – 9х2) × (х2 – 2х + 1) + х3 – 3х2
+ 3х – 1 = 8х12 – 36х10 + 54х8 –
– 27х6 + 12х9 – 36х7
+ 27х5 – 12х8 + 36х6 – 27х4 + 6х6
– 9х4 – 12х5+
+ 18х3 + 6х4 – 9х2 + х3 – 3х2
+ 3х – 1 = 8х12 – 36х10 + 12х9 + 42х8
–
– 36х7 + 15х6
+ 15х5 – 30х4 + 19х3 – 12х2 + 3х –
1.
Ответ:
(f(x) )2 = 4х8 – 12х6 –
4х5 + 13х4 + 6х3 – 5х2 – 2х + 1;
(f(x) )3 = 8х12 – 36х10 +
12х9 + 42х8 – 36х7 + 15х6 + 15х5
–
– 30х4 + 19х3 – 12х2
+ 3х – 1.
Задача
3. Докажите, что произведение являетсямногочленом с
действительными коэффициентами.
Решение.
- Используя правило умноженияскобки на скобку и формулу разности
- квадратов двух выражений, находим:
(х
–(4+3i))(х–(4–3i)=х2–(4–3i)х–(4+3i)х +(4
+ 3i)×(4 – 3i) =
= х2 – 4х + 3iх – 4х – 3iх + (16
– 9i2) = х2
– 8х + 25 = f(x) .
- Полученный многочлен f(x) = х2– 8х + 25 имеет действительные
- коэффициенты, что и требовалось показать.
- Задача4. Разделите с остатком многочлен
- f(x) = 5х6
– 3х4 – 2х3 + 3х2 – 4х + 8 на двучлен (х – 4) (А) и многочлен
- g(х) = iх6 + 3х5 – (2 + i)х4 – 2iх2 –
4 на двучлен (х + 1 + i) (Б).
Решение.
Длявыполнения задания в обоих случаях примем схему Горнера которая представляетсобой алгоритм, позволяющий многочлен f(x) разделить надвучлен (х – с).
А) В этом случае с = 4. Заполняем схему Горнера:
|
5
|
0
|
–3
|
–2
|
3
|
–4
|
8
|
4
|
5
|
20
|
77
|
306
|
1227
|
4904
|
19624
|
Получаем:
f(x) = (х – 4) × (5х5 + 20х4 + 77х3 +
306х2 + 1227х + 4904) + 19624.
Ответ:
f(x) = (х – 4)× (5х5+20х4 + 77х3 +
306х2 + 1227х + 4904) + 19624.
- Б) Так как х + 1 + i = х – (–1
– i), то здесь с = –1 – i. Заполняем схему
- Горнера
|
i
|
3
|
–(2+ i)
|
0
|
–2i
|
0
|
–4
|
–1 –i
|
i
|
4–i
|
–7–4i
|
3+7i
|
4-12i
|
–16+8i
|
20+8i
|
Получаем:
q(x) = (х + 1 + i) ×(ix5 +
(4 – i)x4 – (7 + 4i)x3 + (3 + 7i)x2 + (4 –12i)x –
– 16 + 8i + (20 + 8i).
Ответ:
q(x) = (х + 1 + i) ×(ix5 +
(4 – i)x4 – (7 + 4i)x3 + (3 + 7i)x2 +
+ (4 – 12i)x – 16 +
8i) + (20 + 8i).
- Задача
5. Найдите значение многочлена
- f(x) = 3х6 – 4х5
– 2х3 + + х2 + 3х – 7 при х = 2.
Решение.
- Воспользовавшись схемой Горнера,находим остаток от
- деления многочлена f(x) на двучлен (х
– с):
|
3
|
–4
|
0
|
–2
|
1
|
3
|
–7
|
2
|
3
|
2
|
4
|
6
|
13
|
29
|
51
|
Получаем:
f(x) = (х – 2) × (3х5 + 2х4 + 4х3 +
6х2 + 13х + 29) + 51.
Отсюда находим, что r(х) = 51.
На основании теоремы Безу
заключаем, что f(2) = 51.
Ответ: f(2) = 51.
- Задача
6. Проверьте, является ли число х0
= –3 корнем многочлена
- f(x) = 4х5 + 12х4 + х3 +
6х2 + 10х + 3 (А) и число х0 = i корнем многочлена
- g(x) = 2х6 + 3х4 – ix3 + ix2 – 2x – 1.
Решение.
- В обоих случаях воспользуемсясхемой Горнера и критерием
- корня.
- А) Разделим многочлен f(x) на двучлен (х+ 3) с помощью
- схемы Горнера:
|
4 |
12 |
1 |
6 |
10 |
3 |
–3 |
4 |
0 |
1 |
3 |
1 |
0 |
Получаем: r(x) = 0, это
означает, что f(x)=(х + 3). И, значит,число х0 = –3 является корнем многочлена f(x).
Ответ: х0 = –3 – корень многочлена f(x).
- Б) Воспользовавшись схемойГорнера находим остаток от
- деления многочлена q(x) на двучлен (х– i):
|
2 |
0 |
3 |
– i |
i |
–2 |
–1 |
i |
2 |
2i |
1 |
0 |
i |
–3 |
–1–3i |
-
Из этой схемы видим, что r(x) = –1 – 3i ¹ 0.
- Значит, q(x) не (х – i). Следовательно, х0= i не является
- корнем многочлена q(x).
Ответ: х0= i не является корнем многочлена q(x).
- Задача
7. Проверьте, является ли число х0= –3 корнем многочлена
- f(x) = х5 +8х4 + 19х3 +
9х2 + 27 и, если «да», то найдите его кратность.
-
- Решение.
- Воспользуемся схемой Горнера.

- Ответ: число х0 = –3 является
корнем многочлена f(x) кратности 3
- Задача
8. Разложите многочлен f(x) = 2х4 – 3х3 + 5 по степеням
- двучлена g(x) = x – 1.
Решение.
Вполне очевидно, что ответ
должен выглядеть так:
f(x) = а4(х
– 1)4 + а3(х –1)3 + а2(х – 1)2
+ а1(х – 1) + а0.
Перепишем это равенство
по-другому:
f(x) = (((а4(х
– 1)+ а3 ×(х –1)+ а2)(х – 1)+ а1(х – 1)+ а0 = q1(х)(х –
1)+а0;
g1(х) = ((а4(х
– 1)+ а3)(х –1)+ а2)(х – 1)+ а1 = q2(х)(х –
1) + а1;
g2(х) = (а4(х
– 1)+ а3)(х –1)+ а2 = q3(х)(х –
1) + а2;
g3(х) = а4(х
– 1)+ а3.
- Видим, что а0 естьостаток от деления многочлена f(x) на (х–1),
- а1 есть остаток от деления q1(х) на (х
– 1) и так далее.
Следовательно, искомыекоэффициенты можно найти с помощью схемы Горнера.
- Значит,
f(x) = 2(х – 1)4
+ 5(х –1)3 + 3(х – 1)2 – (х – 1) + 4.
-

-
- Ответ: f(x) = 2(х – 1)4
+ 5(х –1)3 + 3(х – 1)2 – (х – 1) + 4.
- Как видно из этой формулы, длярешения задачи нужно найти
- все производные многочлена f(x) и вычислитьзначение многочлена
- f(x) и его производных при х = 1.
- Получаем:
f (x) = 2х4 – 3х3 + 5; f (1) =
2 × 14 – 3 × 13 + 5= 4.
f I
(x) = 8х3 – 9х2; f I (1) =
8 × 13 – 9× 12 = –1.
f II
(x) = 24х2 – 18х; f II(1) = 24 × 12 – 18× 1 = 6.
f III (x) = 48х – 18; f III (1) = 48 × 1 – 18 = 30.
fIV (x) = 48; fIV (1) = 48.
Подставим это в формулу Тейлора,
получим:
или
f(x) = 2(х – 1)4
+ 5(х –1)3 + 3(х – 1)2 – (х – 1) + 4.
- Задача9. Найдите значение многочлена
- f(x) = 31х5 – 423х4 + 2185х3
– 5439х2 + 6670х – 3293 при х = 2,1.
Решение.
- Разложим сначала многочлен f(x) по степеням двучлена (х –2).
- Для этого можно воспользоваться способами, указанными в задаче 8.
- Здесь мы применим схему Горнера,так как она оптимальнее
- формулы Тейлора.
|
31
|
–423
|
2185
|
–5439
|
6670
|
–3293
|
2
|
31
|
–361
|
1463
|
–2513
|
1644
|
–5
|
2
|
31
|
–299
|
865
|
–783
|
78
|
|
2
|
31
|
–237
|
391
|
–1
|
|
|
2
|
31
|
–175
|
41
|
|
|
|
2
|
31
|
–113
|
|
|
|
|
2
|
31
|
|
|
|
|
|
Значит, f(x) = 31(х – 2)5
– 113(х – 2)4 + 41(х – 2)3 – (х – 2)2 +
+ 78(х – 2) – 5.
Отсюда и находим:
f(2,1) = 31 × 0,15 – 113× 0,14 + 41× 0,13 – 0,12 + 78× 0,1 – 5 =
= 0,00031 – 0, 0113 + 0,041 – 0,01 +
7,8 – 5 = 2, 82001.
Ответ: f(2,1) = 2,
82001.
- Задача 10. Дан многочлен f(x – 4) = (х –
4)4 – 3(х – 4)3 +
- + 2(х – 4) – 5. Разложитемногочлен f(x – 4) по степеням х.
Решение.
Применим схему Горнера,
учитывая, что х = (х – 4) – (–4).
|
1
|
–3
|
0
|
2
|
–5
|
–4
|
1
|
–7
|
28
|
–110
|
435
|
–4
|
1
|
–11
|
72
|
–398
|
|
–4
|
1
|
–15
|
132
|
|
–4
|
1
|
–19
|
|
–4
|
1
|
|
Отсюда заключаем, что f(x) = х4–
19х3 + 132х2 – 398х + 435.
Ответ:
f(x) = х4 –
19х3 + 132х2 – 398х + 435.
- Задача
11. Найдите значение многочлена f(x) и всех его
- производных при х = –2.
Решение.
- 1.Применяя схему Горнера разложим данный многочлен по
- степеням двучлена (х + 2).
|
2
|
16
|
50
|
72
|
47
|
–2
|
2
|
12
|
26
|
20
|
7
|
–2
|
2
|
8
|
10
|
0
|
|
–2
|
2
|
4
|
2
|
|
–2
|
2
|
0
|
|
–2
|
2
|
|
- Значит, f(x) = 2(х + 2)4
+ 2(х + 2)2 + 7
- или
f(x) = 7 + 2(х +
2)2 + 2(х + 2)4.
- 2.
Для ответа на поставленный вопрос воспользуемся формулой
- Тейлора (см. задачу 8). Заключаем:
f(–2) =7, f I(–2) =0, f II(–2) =0, f III(–2) = 4, fIV
(–2) = 48.
Ответ: f(–2) =7,
f I(–2) =0, f II(–2) =4, f III(–2) = 0, fIV
(–2) = 48.
Замечания.
- 1.Ответ на поставленный вопрос можно было получить
- непосредственной подстановкойзначения х = –2 в многочлен f(x) и
- его производные, найденные непосредственно поопределению
- производной многочлена. В большинстве случаев мы приходим к
- громоздким вычислениям.
- 2.Второе действие задачи можно было выполнить по-другому,
- воспользовавшисьопределением производной многочлена.
Продемонстрируем это.
- f(–2) = 7 – это
вполне очевидно из разложения многочлена f(x)
- по степенямдвучлена (х + 2).
f I(х) = (2(х
+ 2)4 + 2(х + 2)2 + 7)1 = 8(х + 2)3
+ 4(х + 2) Þ f I(–2) = 0.
f II(х) =
(8(х + 2)3 + 4(х + 2))1 = 24(х + 2)2 + 4 Þ f II(–2) = 4.
f III(х) = (24(х
+ 2)2 + 4)1 = 48(х + 2) Þ f III(–2) = 0.
fIV (х) = (48(х + 2))1 = 48 Þ fIV
(–2) = 48.
- Задача 12. Найдите неполное частное и
остаток при
- f(x) = x5 – 3x4 + 2x3 – 4x2 + x + 5 на многочлен h(x) = x2 – 2x + 5.
Решение.
Составляем обобщенную схему
Горнера.
В нашем случае n = 5, a0 = 5, c1 = 2 и с0 = –5.
|
1
|
–3
|
2
|
–4
|
1
|
5
|
2
|
1
|
–1
|
–5
|
–9
|
8
|
50
|
–5
|
|
1
|
–1
|
–5
|
–9
|
|
Значит, f(x) = (x2 – 2x + 5)×(x3 – x2 – 5x – 9) + (8x + 50).
Ответ:
f(x) = (x2 – 2x + 5)×(x3 – x2 – 5x – 9) + (8x + 50).
- Задача 13. При каком значении параметра а многочлен
- f(x) = x4 + аx3 + 3x2 – 4x – 4 делится на двучлен (х – 2)?
Решение.
Составляем схему Горнера.
|
1
|
а
|
3
|
–4
|
–4
|
2
|
1
|
2 + а
|
7 + 2а
|
10 + 4а
|
16 + 8а
|
- На основании теоремы Безу
заключаем: многочлен
- f(x)
=(x – 2) в том и только в томслучае, когда 16 + 8а = 0,
- т. е. при а = –2.
Ответ: при а = –2.
§ 2. Теория
делимости многочленов
- Задача 14. Выполните деление с остатком
многочлена
- f(x) = 3x4 + 5x3 – x2 + 2 на g(x) = 2x2 + 3x + 1 двумя
способами:
- А)
«уголком»;
- Б)
с помощью метода неопределенных коэффициентов.
Решение.
- А) Разделим «уголком» многочлен f(x) большейстепени на многочлен
- q(x) меньшей степени:

- 1. Уравниваем старшие коэффициенты многочленов, длячего многочлен
- g(x) умножим на 3х2, а затем находим
разность f1(x) = f(x) – – g(x) × 3x2:

- Таким образом, cтепень многочлена f1(x) больше степени делителя g(x),
- поэтомуповторяем шаг деления «уголком».
-
- 2. Уравниваем старшие членымногочленов f1(x) и g(x), для чего
- многочлен h(x) умножим на (–4х), а затем найдем разность
f2(x) = f1(x) – h(x) × (–4х).
-

- Таким образом, получаем f1(x) = g(х) × (–4)х + f2(x), откуда,
- f(x) = g(x) × 3x2 + g(x) × (–4х)
+ f2(x) = g(x) × (3x2 – 4x) + f2(x). Степень
- многочлена f2(x) равна степени делителя g(x), поэтому повторяемеще раз
- шаг деление «уголком».
-
- 3. Уравниваем теперь старшиечлены многочленов f2(x) и g(x),
- для чего g(x) умножаем на 8
и находим разность f2(x) – g(x) × 8:

- Степеньразности r(x) = f2(x) – g(x) × 8 = –20х – 6 меньшестепени
- делителя g(x), поэтому деление «уголком» закончено. Таким образом,
- f(x) = g(x) × 3x2 + g(x) × (–4х) + f2(x) = g(x) × 3x2 + g(x) × (–4х) +
- + g(x) × 8 + r(x) = g(x) × (3x2 – 4х + 8) + r(x).
- В итоге получаем неполное
частное g(x) = 3x2 – 4х + 8
и остаток
- r(x) = –20х – 6.
- В «свернутом» виде алгоритмделения «уголком» в нашем с
- лучае выглядит так:

Ответ:g(x) = 3х2
– 4х + 8, r(x) = –20х – 6.
- Б) При выполнении деления спомощью метода неопределенных
- коэффициентов используется теорема о делении состатком
- f(x) = g(x) × q(x) + r(x), где r(x) – либо нулевой многочлен, либо его степень
- меньшестепени делителя g(x).
- В нашем случае делимое f(x) имеет
четвертую степень, делитель
- g(x) имеет вторую степень, откуда заключаем, что неполное
частное
- q(x) должно иметь
вторую степень, а остаток r(x) - первую степень. Тогда
- 3x4 + 5x3 – x2 + 2 = (х2
+ 3х + 1) × (Ах2 + Вх + С) + (Dх + Е),
- где А, В, С, D, Е – неопределенные коэффициенты. Чтобы их найтираскроем
- скобки в правой части равенства, получим:
- 3x4 + 5x3 – x2 + 2 = Ах4
+ Вх3 + Сх2 + 3Ах3 + 3Вх2 + 3Сх
+
- + Ах2 + Вх + С + Dх + Е.
- Приравняем теперь на основанииопределения равенства
- многочленов коэффициенты при одинаковых степенях х слеваи справа,
- получим систему линейных уравнений, которую решаем любым
- удобнымспособом:
Отсюда заключаем:

Значит, q(x) = 3x2 – 4х +
8, r(x) = –20х – 6.
Ответ:q(x) = 3x2 – 4х +
8, r(x) = –20х – 6.
- Задача 15. Известны делимое f(x)=x5+2x4+3x3+4х2+ х – 4,
- неполное частное q(x) = x3+ 2х2 – 2 и остаток r(x) = х + 2.Найдите
- делитель g(x).
Решение.
- Из теоремы о делении с остатком имеем f(x)=g(x)×q(x)+r(x),
- где r(x) – либо
нулевой многочлен, либо его степень меньше степени делителя
- g(x).
- В нашем случае получаем:
x5 + 2x4 + 3x3 + 4х2
+ х – 4 = g(x) × (х3 + 2х2 – 2) + (х + 2);
х5 + 2х4 +
3х3 + 4х2 + х – 4 – х – 2 = g(x) × (х3
+ 2х2 – 2);
х5 + 2х4 +
3х3 + 4х2 – 6 = g(x) × (х3 + 2х2 – 2).
Делитель g(x) находим с
помощью деления «уголком» многочлена
f(x) на многочлен q(x):

Значит, g(x) = х2
+ 3.
Ответ: g(x) = х2
+ 3.
- Задача 16. Найдите НОД многочленов f(x) и g(x) с помощью
- алгоритма Евклида, зная что
- f(x) = x6 – 7x4 + 8x3 – 7х + 7, g(x) = 3x5– 7х3
+3х2 – 7.
Решение.
- Решение
начнем с Замечания1.
- Наибольшийобщий делитель многочленов находится однозначно лишь с
- точностью до постоянногомножителя (постоянные множители, отличные от нуля,
- на делимость многочленов невлияют). Поэтому, можно условиться в качестве
- наибольшего общего делителямногочленов, брать тот, у которого старший
- коэффициент равен единице.
- Так как постоянные множители невлияют на делимость многочленов,
- то в процессе применения алгоритма Евклида, во избежание громоздких
- вычислений с дробнымичислами, делимые многочлены и делители можно
- умножить на любые отличные от нулячисла. При этом интересующие нас
- остатки будут приобретать некоторые постоянныемножители, что для нас
- не имеет значения, частные же будут «портиться», однакоони нами при
- нахождении наибольшего общего делителя не используются.
- Так, при решении нашей задачи мы
видим, что при делении
- f(x) на g(x) сразу появятся дробные числа. Чтобы избежать этого,
- умножим f(x) на 3 и
многочлен3f(x) разделим на g(x):

- Здесь полученный остаток мы
умножим на
и полученный
- многочлен
d1(x) записали под двойной чертой.
- Теперь многочлен 2 × g(x) разделим на d1(x):

- Здесь мы промежуточный остатокумножим на 2
- (в результате частное стало неверным – в знак этого члены
- частногоотделены двойной вертикальной чертой) и последний
- остаток умножили на (–1).
- Теперь надо многочлен (2х4
– 3х3 + 2х – 3) разделить на (х3 + 1):

Здесь остаток равен нулю.
Значит, (f(x); g(x)) = х3
+ 1.
Ответ:
(f(x); g(x)) = х3
+ 1.
- Замечание 2.
- Найдем с помощью алгоритма Евклида наибольший общийделитель
- многочленов f(x) = х4 – 2х3 – 4х2 +
4х – 3 и g(x) = 2х3
– 5х2– 4х + 3,
- пользуясь сделанным выше замечанием 1 и не приводяподробных объяснений.

Отсюда заключаем, что (f(x); g(x) = х – 3.
Ответ: (f(x); g(x) = х – 3.
- Задача 17. Найдите линейную форму НОД
многочленов
- f(x) и g(x) наиболее удобным способом, если
- А) f(x) = х4 + 3х3 – х2 –
4х –3, g(x) = 3х3 + 10х2 + 2х – 3.
- Б) f(x) = х5 + х4 + 2х3 +
2х2 + 2х +1, g(x) = х 4 + 4х3 + 6х2 +
5х + 2.
Решение.
- Приведем два способа решения данной задачи.
-
- А) С помощью
алгоритма Евклида.
- Применим к многочленам f(x) и g(x) алгоритмЕвклида.
- Заметим, что здесь произвол, состоящий в умножении многочленов на
- постоянныемножители возможный при нахождении наибольшего общего
- делителя, допускать нельзя,так как здесь мы будем использовать и частные,
- которые при указанном произволемогут искажаться.
- Линейная форма НОД многочленов f(x) и g(x) имеет вид:
- f(x) × U(x) + g(x) × V(x) = d(x),
- где
d(x) – это НОД
многочленов f(x) и g(x), а U(x) и V(x) таковы,
- что степень многочлена U(x) меньше
степени многочлена g(x),
- а степень V(x) меньше степени f(x).
- Наша задача состоит в нахождении
многочленов U(x) и
- V(x), удовлетворяющих озвученному выше условию.
- Сначала находим НОД многочленов f(x) и g(x):

Следовательно, (f(x); g(x)) = 9х + 27 =
9 × (х + 3), т.е. (f(x); g(x)) = х + 3.
Из этого получаем:

Из последнего равенства находим:

Из первого равенства находим:

Подставим это в предыдущее
равенство и получим:

Отсюда заключаем, что

Значит, линейная форма НОД многочленов
f(x) и g(x) имеет вид:

Ответ:

Б) С помощью метода неопределенных
коэффициентов.
Применим к многочленам алгоритм Евклида

Следовательно
D(x) = (f(x); g(x)) = х2
+ х + 1.
Делим
теперь f(x) и g(x) на D(x), например
«уголком»:

- Следовательно, f1(x) = х3 + х + 1, g1(x) = х2+ 3х + 2.
- Согласно теории, многочлены f1(x) и g1(x) взаимнопросты. Поэтому
- должно выполняться равенство: f1(x) × U(x) + g1(x) × V(x) = 1, при
- этом степень многочлена U(x) меньше
степени многочлена g1(x), а
- степеньмногочлена V(x) меньше степени многочлена f1(x).
Имеем:
f1(x) = х3 + х + 1 – многочлен третьей степени, а, значит,
V(x) = Ах2 + Вх + С;
g1(x) = х2 + 3х + 2 – многочлен второй степени, поэтому
U(x) = Dх + Е.
И тогда получаем:
(х3
+ х + 1) × (Dх + Е) + (х2 + 3х + 2) × (Ах2 + Вх + С) = 1.
Раскрываем скобки в левой части
равенства:
Dх4 + Dх2 + Dх + Ех3 + Ех + Е + Ах4 + Вх3
+ Сх2 + 3Ах3 + 3Вх2 +
+ 3Сх + 2Ах2 + 2Вх + 2С
= 1.
- Приравнивая коэффициенты при
одинаковых степенях х слева и
- справа, получаем систему линейных уравнений, которую решаем любым
- известнымспособом:

Следовательно,

- Умножим полученное равенство на D(x) = х2+ х + 1, получим линейную
- форму НОД для многочленов f(x) и g(x):

Ответ:

- Задача 18. При помощи методанеопределенных коэффициентов
- найдите многочлены U(x) и V(x) такие, что
- f(x) × U(x) + g(x) × V(x) = 1, если f(x) = 2х2
– 4х +9,
- g(x) =3х2 + х + 7.
Решение.
- Искомые многочлены U(x) и V(x) обладают темсвойством,
- что степень многочлена U(x) меньше степени многочлена g(x), а степень
- многочлена V(x) меньше степени многочлена f(x). Многочлены f(x) и g(x)
- оба имеютвторую степень, и значит, многочлены U(x) и V(x) имеют вид:
- U(x) = Ах + В, V(x) = Сх + D. Тогда
получаем:
(2х2 – 4х + 9) × (Ах + В) + (3х2 + х + 7) × (Сх + D) = 1.
Раскрываем скобки в левой части
равенства:
2Ах4
+ 2Вх2 – 4Ах2 – 4Вх + 9Ах + 9В + 3Сх3 + 3Dx2 + Cx2 + Dx +
+ 7Cx + 7D = 1.
- Приравнивая коэффициенты приодинаковых степенях в левой
- и правой частях равенства получаем систему линейныхуравнений:

Решим
ее, например, методом Гаусса:

Значит,

Ответ:
Задача 19. Упростите выражение
Решение.
- С помощью алгоритма Евклиданайдем наибольший общий
- делитель числителя f(x) и знаменателя
g(x), а затемпроизведем сокращение.
- Чтобы избежать дробей, воспользуемся сделанным ранее замечаниеми
- заменим многочлены f(x) и g(x) соответственно на 3 × f(x) и 2 × g(x)
- (подобные преобразования – как условились ранее –отметим двумя чертами).

Следовательно, d(x) = (f(x), g(x)) = х2
– х + 1.
Произведя
сокращение, получим:

Ответ:
- Замечание. Деление
многочленов f(x) и g(x) на их наибольший
- общий делитель d1(x) = х2 – х + 1 можно произвести «уголком»или же
- воспользоваться обобщенной схемой Горнера.
- Задача 20. Выделив кратные множители,
разложите многочлен
- f(x) = х5 – х3 –3х – 2 на неприводимые множители надполем
- действительных чисел R:
Решение.
- 1) Запускаем алгоритм отделения кратных множителей.
- Шаг 1. Полагаем d0(x) = f(x) и находим f ¢(x) = 5х4 – 3х2 –8х – 3.
- Воспользуемся алгоритмом Евклидадля нахождения d1(x) = (f(x); f ¢(x)).

Снова делим делитель на остаток:

Следовательно,
d1(x) = (f(x); f ¢(x)) = х2 + х + 1.
Отсюда получаем d2(x) = (d1(x); )Легко видеть, что d2(x) = 1.
Шаг 2. Находим путем деления «уголком» и полагаем D3(х) = 1.
Следовательно, f(x) = (х – 2)×(х2 + х + 1)2.
Анализируя результат, мызаключаем, что получим разложение данного многочлена в произведениенеприводимых множителей над полем действительных чисел R, что нам нужно было сделать.
Ответ: f(x) = (х – 2)×(х2 + х + 1)2.
- Задача 21. Найдите наибольший общий делитель многочлена
- f(x) = (х + 1) × (х4 – 1)
× (х3 – 1) и его производной f ¢(x).
Решение.
- Длярешения задачи воспользуемся теоремой о кратных множителях:
- «если некоторыйнеприводимый над полем Р многочлен р(х) является
- k - кратным множителем многочлена f(x) с коэффициентами из поля Р,
- тор(х) является (k – 1) - кратным множителем его производной f ¢(x)».
- Так
как коэффициенты многочлена f(x) рациональны, то в качестве
- поля Р можно взятьполе R - расширение поля Q(не будет ошибки, ели взять
- и более широкое поле(например, поле комплексных чисел С), но в этом случае
- решение задачи будетболее громоздким).
- Находим
каноническое разложение многочлена f(x) над полем R.
- Так как
х4
– 1 = (х2 + 1) × (х2 – 1) = (х2
+ 1) × (х + 1) × (х – 1),
то х3
– 1 = (х – 1) × (х2 + х + 1),
f(x) = (х + 1)2 × (х – 1)2 × (х2 + 1) (х2
+ х + 1).
- Множители
(х + 1) и (х – 1) входят в f(x) с
кратностью 2. Следовательно,
- в f ¢(x) они выйдут с кратностью 1.
- Множители
(х2 + 1) и (х2 + х+ 1) являются простыми
- (иначе, однократными) множителями f(x) , а поэтому в разложение f ¢(x)
- они не войдут.
Значит,
(f(x); f ¢(x)) = (х + 1) × (х – 1) = х2 – 1.
Ответ:
(f(x); f ¢(x)) = х2 – 1.
- Задача 22. Известны
многочлены f(x) и (f(x); f ¢(x) ) = d(x).
- Найдитеканоническое разложение многочлена f(x) ,
- если f(x) = х4 – – 3х3 – 6х2
+ 28х – 24 и d(x) = (х – 2)2.
Решение.
Из условия задачи следует, что f(x) (х – 2)2 и
f ¢(x) (х – 2)2.
- Таккак множитель (х – 2) является двукратным неприводимым множителем
- производной f¢(x), то он будет,
следовательно, трехкратным неприводимым
- множителем многочлена f(x) (теорема о кратных множителях), т.е.

Но (х – 2)3 = х3
– 6х2 + 12х – 8.
- Используяалгоритм деления многочленов «уголком»,
- находим многочлен h(x):

Значит, h(x) = х + 3.
Следовательно, каноническоеразложение многочлена f(x) имеет вид:
f(x) = (х – 2)3 × (х + 3).
Ответ: f(x) = (х – 2)3 × (х + 3).
- Задача 23. Найдите наибольший общий делитель и наименьшее
- общее кратноемногочленов f(x) = (х2 + 5х + 6)×(х2–1) и
h(x) = (х4 – 2) ×
- × (х2 +
2х – 3).
Решение.
- Чтобы найти наибольший общий
делитель многочленов f(x) и h(x)
- достаточно выписать всеодинаковые неприводимые множители данных
- многочленов и найти их произведение.
- Чтобы найти наименьшее общеекратное многочленов f(x) и h(х), нужно
- выписать всенеприводимые множители из разложения f(x) и приписать
- к ним недостающие неприводимыемножители из разложения h(x) и найти
- их произведения.
- Многочлены f(x) и h(x) имеют рациональныекоэффициенты.
- Следовательно, достаточно разложить их на неприводимые множителинад
- полем действительных чисел R.
Имеем:
х2 + 5х + 6 = (х + 2) × (х + 3),
х2 – 1 = (х + 1) × (х – 1),
х2 + 2х – 3 = (х + 3) ×(х – 1).
Многочлен же (х4 – 2)
неприводим над полем R (так как не является рациональным числом).Разложения многочленов f(x) и h(x) на неприводимые множители над
полем R таковы:
f(x) = (х + 2) × (х + 3) × (х + 1) × (х – 1).
h(x) = (х4 – 2) × (х + 3) × (х – 1).
Отсюда и получаем, что
(f(x); h(x)) = (х + 3) × (х – 1) = х2 + 2х – 3;
[f(x); h(x)] = (х + 2)×(х + 3)× (х + 1)× (х – 1)× (х4 – 2) = (х2
+ 5х + 6) ×
× (х2 – 1) × (х4 – 2).
- Ответ: (f(x); h(x)) = х2 + 2х – 3;
- [f(x); h(x)] = (х2 + 5х + 6) × (х2 – 1) × (х4 – 2).
- Задача 24. Найдите наибольший общий делитель многочленов
- f(x) = (х3 – 2) × (х2 + 1) × (х + 1) 2
и g(x) = х9 – 3х3 – 2.
Решение.
Многочлены f(x) и g(x) рассмотрим над полем
рациональных чисел Q, так как их коэффициенты
рациональны. Многочлен f(x) представленсвоим разложением на неприводимые множители над полем Q. Многочлен g(x) записан в стандартном виде по
убывающим степеням.
Испытаем неприводимые множители
многочлена f(x):
- Убеждаемся, что g(x) делится на (х3 – 2), но не делится на (х3 – 2)2, не делится на
- (х2 + 1) и делится на (х + 1) 2.Отсюда и заключаем,
- что (f(x); g(x)) = (х3 –
2) × (х + 1) 2.
Ответ: (f(x) ; g(x)) = (х3 –
2) × (х + 1) 2.
- Задание.Проверьте самостоятельно с помощью деления «уголком» что g(x)
- делится на (х3
– 2), но не делится на (х3 – 2)2, не делится на (х2+ 1) иделится на
- (х + 1) 2.
- Задача 25.Представьте в виде суммы простейших
- дробей отношение

- Решение 1.
Сначала для знаменателязапускаем алгоритм отделения кратных множителей и находим, что 
Таким образом, 
В нашем случае где
Находим . Уже деление на дает (Проверьте!). Поскольку , то . Линейная форма наибольшего общего делителя имеет вид . Умножив это равенство
на f(x) , получим отсюда

Представим
последнюю дробь в виде суммы простейших дробей.

Следовательно, и

Окончательно получается

Решение 2
Методом неопределенных коэффициентов. Записываеможидаемый ответ с неопределенными коэффициентами:

Отсюда . Приравнивая
соответствующие коэффициенты, получаем системулинейных уравнений,
решая которую, находим А=1, В=-1, С=-3, D=-5, E=-15.
Таким образом, 
Ответ: 
§ 3.
Многочлены над числовыми полями
- Задача 26. Найдите приведенный многочленнаименьшей
- степени с комплексными коэффициентами, имеющий набор корней:
- простыекорни 1, (–2) и 3 и двух кратный корень
(1 – 3i).
-
- Решение.
- Из теории известно, что если х =
с – корень многочлена
- f(x), то f(x) делится на двучлен (х – с).Следовательно, искомый многочлен
- должен делиться на (х – 1), на (х + 2), на (х– 3) и на (х– (1 – 3i))2.
-
- А так как он должен иметьнаименьшую степень, то
- f(x) = (х – 1)×(х + 2)×(х – 3)×(х –(1 – 3i))2 = (х2 +
х – 2)×(х – 3)×(х2 – 2 ×
- × (1 – 3i)х + (1 – 3i)2) = (х3 – 3х2 + х2
– 3х – 2х + 6)×(х2 +(–2 + 6i)х +
- + 1 – 6i + 9i2) = (х3 – 2х2 – 5х + 6)×(х2 +(–2 + 6i)х – 8 – 6i) = х5
+
- + (–2 + 6i)х4 – 8х – 6iх3 – 2х4 +(4 – 12i)х3 + 16х2 + 12iх2 – 5х2 +
- +
(10 – 30i)х2 + 40х + 30iх + 6х2 + (–12 + 36i)х – 48 – 36i = х5 + (–4 + 6i)х4+
- + (–9 – 18i)х3 + (32 – 18i)х2 + (28 + 66i)х – 48 – 36i.
-
- Ответ:
- f(x) = х5
+ (–4 + 6i)х4 +(–9 – 18i)х3 + (32 – 18i)х2 + (28 + 66i)х – 48
– 36i.
- Задача 27.
Пользуясь формулами Виета, составьте многочлен
- f(x) , имеющий корни х1 = х2
= 4, х3,х4 = 1 ± 2i.
-
- Решение.
- Длярешения задачи воспользуемся формулами Виета, которые
- выражают коэффициентыискомого многочлена f(x) через его
корни.
- Таккак искомый многочлен должен иметь 4 корня, то наименьшая
- возможная его степеньравна четырем. Значит,
-
f(x) = а0х4 +
а1х3 + а2х2 + а3х + а4,
- где а0 можно взятьпроизвольно, а остальные коэффициенты следующим
- образом выражаются через корни х1, х2, х3, х4 многочлена f(x):
- а1
= –а0(х1 + х2 + х3 + х4),
- а2
= а0(х1х2 + х1х3 + х1х4
+ х2х3 + х2х4 + х3х4),
- а3
= –а0(х1х2х3 + х1х3х4
+ х1х2х4 + х2х3х4),
- а4
= а0х1х2х3х4.
- Положим а0 =1, а
вместо х1, х2, х3, х4 подставимсоответственно числа
- из условия и получим:
- а1
= 4 + 4 +(1 + 2i) + (1 – 2i) = 10,
- а2
= 4 × 4 + 4(1
+ 2i) + 4 × (1
– 2i) + 4 ×
(1 + 2i) + 4 ×
(1 – 2i) +
- + (1 + 2i)(1 – 2i) = 16 + 4 + 8i + 4 – 8i+ 4 + 8i + 4 – 8i + 1 – 4i2 = 37,
- а3
= –(4 × 4 × (1 + 2i)
+ 4 × 4 × (1
– 2i) + 4 ×
(1 + 2i) (1 – 2i) + 4 ×
- ×
(1 + 2i)(1 – 2i)) = –(16 + 32i + 16 – 32i + 4 – 16i2 + 4 – 16i2)
= –72,
- а4 = 4 × 4 × (1 + 2i) (1 – 2i) = 16(1 – 4i2) = 80.
-
- Следовательно,
f(x) = х4 + 10х3
+ 37х2 – 72х + 80.
-
- Ответ:
f(x) = х4 + 10х3 + 37х2 – 72х + 80.
- Задача 28. Найдите приведенный многочлен наименьшей
- степени сдействительными коэффициентами, имеющий набор
- корней: 3, –2 и (3 – 2i).
-
- Решение.
- Согласно теории все комплексныекорни многочлена с действительными
- коэффициентами попарно сопряжены. В связи сэтим, так как х3 = 3 – 2i- корень
- искомого многочлена, то корнем его будет и х4 = 3 + 2i.
- Таким
образом, искомый многочлен f(x) имеетчетыре корня, а так как
- он имеет наименьшую степень, то
-
f(x) = ( х – 3)(х + 2)(х –(3 – 2i))(х –(3 + 2i)).
- Отсюда
получаем:
- f(x) = (х2 – х – 6)(х2
– х(3 + 2i)–(3 – 2i)х +(3 – 2i)(3 + 2i)) = (х2 – х – 6) ×
- × (х2 – 3х – 2iх – 3х + 2iх + 9 – 4i2) = (х2 – х – 6) × (х2 – 6х + 13) = х4 –
- – 6х3 + 13х2 – х3 + 6х2
– 13х – 6х2 + 36х – 78 = х4 – 7х3 + 13х2
+ 23х – 78.
-
- Ответ: f(x) = х4 – 7х3 +
13х2 + 23х – 78.
- Задача 29.
Дан многочлен f(x) = 3х4 – 5х3 + 3х2 +4х – 2 с
- действительными коэффициентами и a = 1 + i – один изего корней.
- Найдите остальные корни многочлена f(x).
-
- Решение.
- Так как f(x) – многочлен с
действительными коэффициентами и
- a = 1 + i – его корень
(он – комплексный корень), то корнем f(x) будет и
- сопряженное с a число

- Тогда
получаем:
-
f(x) = (х – (1 + i))(х – (1 – i))× h(x).
- Или
иначе:
- 3х4 – 5х3 + 3х2 + 4х +
2 = (х2 – х (1 – i))–(1 + i))х + (1 + i)(1 – i)× h(x).
- 3х4 – 5х3 + 3х2 + 4х +
2 = (х2 – х + iх – х – iх + 1 – i2) × h(x).
- 3х4 – 5х3 + 3х2 + 4х +
2 = (х2 – 2х + 2) × h(x).
- Отсюда
получаем:
-
-
- Деление
выполним «уголком».

- Значит,
получаем, что
-
-
D = 12 – 4 × 3 × (–1) = 1 + 12 = 13.
-
-
- Следовательно,
если a1 = 1 + i то остальными
корнями многочлена
- f(x) будут:
-
a2 = 1 – i,  
- Ответ:

- Задача 30.Найдите границы действительных корней
- многочлена f(x) = х5
+ 5х4 + 10х3 – 5х – 3.
- А) с помощью формул;
- Б) с помощью метода Ньютона.
- Сопоставьте результаты.
-
- Решение.
- Найти границы действительных корней многочлена f(x) - значит
- найти такие два числа М1
и М2, что для любого действительного корня l
- многочлена f(x) выполняются неравенства
-
- При
этом М1 называют нижней
границей (НГ), а М2- верхней
- границей (ВГ) действительныхкорней многочлена на f(x).
Для
нахождения НГ и ВГ существует несколько способов. Решим
эту задачу, используя ряд теоретических положений. В теории многочленов доказан ряд формул для нахождения НГ и ВГ действительныхкорней многочлена f(x) .
- А) Во-первых, можно воспользоваться
формулами
,
, где А – наибольшая из абсолютных величин коэффициентов,
- а0
– старший коэффициент многочлена f(x) .
- В
нашем случае имеем: А = 10, а0 = 1; отсюда получаем ВГ = 11,
- НГ = –11,то есть действительные корни многочлена на f(x) заключены в
- промежутке (–11; 11).
- Во-вторых,
, где m – индекс первого отрицательного
- коэффициентамногочлена f(x) = а0хn + а1хn–1 +…+ аn–1х + аn, В – наибольшая из
- абсолютных величин его отрицательных коэффициентов (при этом надо иметь
- ввиду, что а0 > 0). В нашем примере m = 4, В = 5, а0= 1.
- Значит,

- Для
нахождения НГ этим способом достаточно вместо х подставить
- (–х) ивоспользоваться следующим правилом:НГ действительных корней
- многочлена f(x) равна ВГ действительных корней многочлена f(–x), взятой
- спротивоположным знаком.
- В
нашем случае f(–x) = –х5 + 5х4 – 10х3 +
5х – 3.
- Так как а0 = –1 < 0, то умножим f(–x) на число (–1), что не измениткорней
- многочлена f(–x) и, значит, не изменятся границы корней:
-
–f(–x) = х5 – 5х4 + 10х3 – 5х +
3.
- Теперь имеем: а0 = 1, m = 1, В = 5 и ВГ = 1 + 5 = 6 (под корнем 1-ой степени
- будемпонимать само это число). Следовательно, для данного многочлена
- f(x) имеем НГ = –6.
- Итак,
корни действительные многочлены f(x) заключены
в интервале
- (–6; 3).
- Б) Метод Ньютона основан на утверждении:
- «если при х = с многочлен f(x) и все его последовательные производные f I(x),
- f II(x), …, f(n) (x) принимает положительные
значения, то число cслужит
- верхней границей положительных корней».
- В
нашем случае:
- f(x) = х5 + 5х4 + 10х3 – 5х
– 3;
- f I(x) = 5х4 + 20х3 + 30х2 – 5;
- f II(x) = 20х3 + 60х2 + 60х;
- f III(x) = 60х2 + 120х + 60;
- f IV(x) =120х + 120;
- f V(x) = 120.
- Вполне очевидно, что при х = 1 многочлен f(x) и все его производные
- принимаютположительные значения. И, значит, х = 1 – ВГ положительных
- действительныхкорней.
- Теперь
рассмотрим вспомогательный многочлен
- f(–x) = –х5 + + 5х4 – 10х3 +5х – 3. Поскольку старший коэффициент
- отрицателен, то будем рассматривать
- –f(–x) = х5 – 5х4 + 10х3 – 5х +
3.
- (–f(–x))I = 5х4 – 20х3 + 30х2 – 5.
- (–f(–x))II = 20х3 – 60х2 + 60x.
- (–f(–x))III = 60х2 – 120x + 60.
- (–f(–x))IV = 120x – 120.
- (–f(–x))V = 120.
- Вполне очевидно, что при х = 2 многочлен (–f(–x)) и всего производные
- положительны. Это означает, что х = 2 – ВГ положительных действительных
- корней.И, значит, х = –2 – НГ отрицательных действительных корней.
- Итак,
действительные корни многочлена f(x) заключены в
- интервале (–2; 1).
- Сопоставляярезультаты, заключаем, что наиболее хороший результат,
- несмотря нагромоздкость, дает метод Ньютона.
- Замечание.Еще раз подчеркнем, что для указания границ
- действительных корней многочлена f(x) достаточно уметь находить лишь ВГ
- положительных его корней.
- Пусть f(x) - многочлен степени n и N0есть ВГ его положительных
- действительных корней.Рассмотрим вспомогательные многочлены


.
- Находим ВГ их положительных корней. Пусть это будут
числа
- 7N1, N2, N3. Доказано, что
– это НГ положительных
действительных корней;
- (–N2) – это НГ отрицательных действительных корней;
– это ВГ отрицательных действительных корней.
- Задача 31. Пользуясьтеоремой Штурма, отделите действительные
- корни многочлена f(x).
-
- Решение.
- Отделить корни многочлена – это значит найти такие проме-жутки, в
- каждом из которых находится по одному действительному корню данного
- многочлена. Найдем сначала верхнюю и нижнюю гра-ницы действительных
- корней f(x). Применяя формулу
находим, что корни многочлена f(x) заключены в проме¬жутке (–4; 8).
Теперь для многочлена f(x) составим систему (много¬членов) Штурма. Первым и
вторым многочленом этой системы будут служить соответственно сам многочлен
f (x) и его производная f (x) = 4x3 – 6х2 – 14х + 8 = 2(2х3 – 3х2 – 7х + 4).
Для отыскания третьего многочлена разделим с остатком f(x) на f '(x).
Так как в дальнейшем нас будут инте¬ресовать лишь знаки значений многочленов
Штурма, то сами многочлены, а также все промежуточные многочлены в
процессе деления можно умножать на любые положительные числа.
Учитывая это, мы во избежание дробных коэффициентов будем делить 2 f(x) на :
- Обозначим полученный «остаток» от деления через r1(x). Тогда искомый
- многочлен Штурма f(x) будет равен –r1(x), т. е.
- f1(x) =17x2 – 17х – 8.
- Для отыскания следующего многочлена Штурма разделим

- на f1 (x):

Следовательно, f2(х) = 43х – 30. Разделим теперь 43 f1 (x) на f2 (x):

Получим
остаток , который очевидно, отрицателен(его абсолютная величина нас не интересует). Поэтому будем считать, что f3 = 1.
- Итак, имеем
следующую систему Штурма:
f(x)= х4 – 2х3 –
7х2 + 8х + 1,
f '(x)
= 2(2х3 –
Зх2 – 7х + 4) (множитель 2
можно было бы опустить),
f1 (х) = 17х2 – 17х – 8,
f2(x) = 43x – 30,
f3 (х) = 1.
- Сравнивая процесс нахождения этих многочленов с алгоритмом Евклида,
- можно заключить, что (f(x), f '(x)) = 1. Следовательно, условие теоремы Штурма
- выполнено.
- Пользуясьтеоремой Штурма, найдем число всех действительных
- корней нашего многочлена, атакже число его положительных и число его
- отрицательных корней. Результаты вычисленийзапишем в таблицу:
x
|
f(x)
|
f ¢(x)
|
f1 (х)
|
f2(x)
|
f3 (х)
|
Число
перемен знаков
|
Число
потерь перемен
знаков
|
–4
0
8
|
+
+
+
|
–
+
+
|
+
–
+
|
–
–
+
|
+
+
+
|
4
2
0
|


|
- Из таблицы видно, что привозрастании х от –4 до 8 потеряно
- четыре перемены знаков (4 – 0 = 4). Следовательно,наш многочлен имеет
- четыре действительных корня. Кроме того, замечаем, что двепотери перемен
- знаков происходят при переходе от –4 к 0 и две при переходе от 0к 8.
- Следовательно, два корня отрицательны и два положительны. Так как все
- 4корня находятся в промежутке (–4; 8), то будем отделять их, придавая х
- значения –3, –2, –1, 0, 1, 2, . . . ,пока не найдем промежутки для всех
- четырех корней.
x
|
f(x)
|
f ¢(x)
|
f1 (х)
|
f2(x)
|
f3 (х)
|
Число перемен
знаков
|
Число
потерь перемен знаков
|
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
|
+
–
–
+
+
–
–
+
|
–
–
+
+
–
–
+
+
|
+
+
+
–
–
+
+
+
|
–
–
–
–
+
+
+
+
|
+
+
+
+
+
+
+
+
|
4
3
3
2
2
1
1
0
|




|
Из таблицы видно, что корни
нашего многочлена находятся в
промежутках: (–3; –2), (–1; 0), (1; 2), (3; 4).
- Замечание. Заметим, что при решении этой задачи мыпроделали
- много лишней работы, вычисляя значения всех многочленов системы Штурма.
- Здесь, как и во многих других случаях, достаточно было вычислить
- лишь значения самого многочлена f(x), учитывая, что если числа f(а)
и f(b)
- имеют разные знаки, то в промежутке (а; b) существует нечетное число
- действительных корней, и если f(а) и f(b) – числа одного знака, то в
- промежутке (а; b) или не содержится ни одного корня, илисодержится четное
- число корней.
- Исходя изэтого, при решении задачи на отделение корней можно поступать
- следующимобразом. Сначала найти целочисленные границы корней (а; b),
- затем найти знаки чисел
f(a), f(a + l), f(a + 2), . . ., f(b)
- и выписать те
промежутки (k; k + 1), для которых числа f(k) и
- f(k + 1) имеют разные знаки. В каждом из этих промежутков находится
- хотя бы по одному действительному корню. Однако, следует помнить,
- что при этоммы можем пропустить интервалы, в которых находится четное
- число корней, атакже ошибочно заключить, что в промежутке (k; k + 1) находится
- один действительный корень, тогда как на самом деле тамможет быть 3, 5, 7
- и т. д. корней. Для того чтобы избежать подобных ошибок,надо предварительно
- методом Штурма найти число всех действительных корнеймногочлена.
- Полезно также найти отдельно число положительных и отрицательныхкорней.
- Так, в нашей задаче в концах интервала (–3; –2) многочлен f(x) принимает
- значения разных знаков [f(–3)>0, f(–2)
< 0]. Следовательно, винтервале
- (–3; –2) имеется хотя бы один действительный корень. То же самоеможно
- сказать об интервалах (–1; 0); (1; 2); (3; 4). Поскольку общее числодействительных
- корней многочлена f(х) равно четырем, то в каждом из промежутков
- (–3; –2), (–1;0), (1; 2), (3; 4) заключается ровно по одному корню.
Ответ: –3 < a1 <
–2, –1 < a2 <
0, 1 < a3 <
2, 3 < a4 <
4.
Б) f(х)
= х5 – 5х3 – 10х2
+ 2.
Решение.
- Отыскивая границы корней,получим: действительные корни
- многочлена f(x)
содержатся в промежутке (–4;
5). Составим систему многочленов
- Штурма:
- Пользуясь теоремой Штурма,найдем число действительных корней
- многочлена f(x). Предварительно заметим, что поскольку в интервале
(5; + ¥)
- действительных корней нет, то число перемен знаков всистеме Штурма при
- х = 5 будет тем же самым, что и при любом другом значении х >5. Поэтому
- вместо 5 можно подставлять любое как угодно большое число. Этобывает
- полезным, ибо по лемме о модуле старшего члена при достаточно
- большомзначении х знак
многочлена f(x) совпадает со знаком его старшего
- члена. Мы будем вместо 5 условнописать (+¥). Аналогично, вместо (–4) будем
- писать (–¥.
Результаты вычислений запишем в
таблицу:
x
|
f(x)
|
f ¢(x)
|
f1 (х)
|
f2(x)
|
f3(х)
|
f4(х)
|
Число
перемен знаков
|
Число
потерь перемен знаков
|
–¥
0
+¥
|
–
+
+
|
+
0
+
|
–
–
+
|
–
+
–
|
+
–
–
|
–
–
–
|
4
3
1
|


|
- Из таблицы видно, что многочлен f(х) имеет 1 отрицательный
- и 2положительных корня. Для их отделения будем вычислять значения
- многочлена f(х) при целых значениях х из промежутка (–4; 5). Приэтом
- вычисление удобнее начинать с х
= 0:
f(0) >0, f(l) <0,
f(2)
<0, f(3) > 0.
- Дальше для положительных
значений х вычислять f(х) не следует,
- ибо уже из имеющихсяданных видно, что положительные корни (а их всего два)
- находятся в интервалах(0; 1) и (2; 3). Теперь будем придавать х
отрицательные
- значения: f(–1) < 0. Учитывая, что f(0) > 0, заключаем: в промежутке (–1;0)
- имеется действительный (отрицательный) корень. А так как многочлен имеетлишь
- один отрицательный корень, то на этом работа заканчивается. Итак,
- корнимногочлена f(x) заключены в интервалах (–1; 0), (0; 1), (2; 3).
В) f(x) =
4х4 – 12х2 + 8х – 1.
Решение.
- Сначала
устанавливаем, что корни многочлена f(x)
находятсяв
- промежутке (–3; 3). Далее составляем систему Штурма:
f0(х) = 4х4 –
12х2 + 8х – 1,
f1(х) = 8 (2x3 – 3x + 1),
f2(х) = 6x2 – 6x + 1,
f3(х) = 2x – 1,
f4(х) = 1.
- Пользуясьтеоремой Штурма, находим число положительных и
- отрицательных корней.
x
|
f(x)
|
f ¢(x)
|
f1 (х)
|
f2(x)
|
f3(х)
|
Число
перемен знаков
|
Число
потерь перемен знаков
|
–¥
0
+¥
|
+
–
+
|
–
+
+
|
+
+
+
|
–
–
+
|
+
+
+
|
4
3
0
|


|
- Из таблицы видно, что
многочлен f(x) имеет 1 (4 – 3=1) отрицательный
- и 3 положительных корня. Находим значения многочлена f(х): f(–3) >0,
- f(–2)
>0, f(–l) <0, f(0)
<0, f(1) <0, f(2)
>0, f(3) > 0.
- Замечаем, чтов промежутках (–2; –1), (1; 2) имеется, по крайней мере,
- по одному корню. Атак как всего действительных корней 4, то возможны случаи:
- или в каком-либо изуказанных промежутков имеется три корня или в
- каком-либо ином промежуткеимеется два корня. Для выяснения полной
- картины здесь необходимо для значений –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3 вычислятьне
- только значения f(x), но и значения всехостальных многочленов системы
- Штурма. Результаты запишем в таблицу:
x
|
f(x)
|
f ¢(x)
|
f1 (х)
|
f2(x)
|
f3(х)
|
Число
перемен знаков
|
Число
потерь перемен знаков
|
–¥
–3
–2
–1
0
1
2
|
+
+
+
–
–
–
+
|
–
–
–
+
+
0
+
|
+
+
+
+
+
+
+
|
–
–
–
–
–
+
+
|
+
+
+
+
+
+
+
|
4
4
4
3
3
1
0
|



|
- Из таблицы видно, что корни находятся впромежутках
- (–2;–1), (0; 1), (1; 2), причем в промежутке (0; 1) находятся два корня.
- Чтобы отделить их, разделим промежуток (0; 1) на два
- интервала
и найдем знак
числа :

А так как f(0) < 0 и f(1) < 0, то в каждом из промежутков 
находится по одному корню.
Таким образом, корни нашегомногочлена содержатся в
промежутках: (–2; –1), , (1; 2).
Ответ:
(–2; –1), , (1; 2).
- Задача 32. Вычислите сточностью до 0,0001 корень
- многочлена f(x) = x4 + 3x3 –
9x
– 9 из промежутка (1; 2).
-
- Решение.
- Для приближенного вычислениядействительных корней многочлена
- существует много различных методов. Одним изнаиболее простых и
- распространенных методов является метод Ньютона (или
касательных), который
- обычно применяется совместно с методом линейной
интерполяции (или хорд).
- Эти методы позволяют постепенноприближаться к корню с двух сторон (слева
- и справа). Применим методы хорд икасательных к решению нашей задачи.
- Для наглядности построимпримерный график многочлена на участке
- (1; 2). Первая производная f ¢(х) = 4х3 + 9х2 – 9 = 4x3 + 9(x2
– 1) в промежутке
- (1;2) принимает лишь положительные значения. Значит, многочлен f(x) в
- промежутке (1; 2) возрастает от f(l) = –14 до f(2) = 13. Кроме того, вторая
- производная f "(х) = 12х2 + 18х в интервале (1; 2) также положительна.
- Следовательно, график функции f (x) в этом интервале является вогнутой кривой.
- Учитывая отмеченные факты, имеем примерный (весьма грубый) график
- многочлена f(x) на отрезке (1; 2) (рис. 1).
- Из чертежа видно, что, проведя
хорду АВ, мы получим приближение
- b1 к корню x1 слева.
Чтобы приблизиться к корню справа, нужно провести
- касательную к кривой. Однакоздесь очень важно, через какую точку (А
или В)
- еепроводить.

-
- При проведении касательнойследует пользоваться правилом:
- касательную к кривой, соединяющей точки А и В,следует проводить в той
- точке (А или В),
в которой значения многочлена f(x) и его второй
- производной имеют одинаковыезнаки. При несоблюдении этого правила
- вместо приближения к корню можно получитьудаление от него. В нашем случае
- имеем: f(l) <0, f(2) >
0, f "(l)>0, f "(2) > 0. Отсюда видно, что f(x) и
- f "(x) имеют одинаковые знаки при х=2.
Следовательно, касательную следует
- проводить через точку А. Теперь, отыскивая абсциссы a1 и b1 получим:
-
и 
-
- где а = 2, b = 1. Отсюда имеем:
-
- Так как верхнюю границу всегдаследует брать с избытком, а нижнюю
- с недостатком, то положим а1 =
1,8; b1 = l,5.
- Теперь, применяя те жерассуждения относительно
- точек А1(1,8; f(l,8)) и B1(1,5; f(l,5)), получим новые приближения к корню:
-
и 
-
- Подставляя сюда вместо a1 и b1 соответственно числа 1,8 и 1,5 и
- округляя полученный результат,найдем: а2 =1,74; b2 =1,71.
- Поскольку нам нужно вычислитькорень с точностью до 0,0001,
- а полученные результаты для а2 и b2совпадают лишь в цифре десятых долей,
- то нужно находить новыеприближения а3 и b3:
-
- Отсюда можно заключить, что х1
» 1,7320 (± 0,0001).
- Замечания.
- 1. При приближенном вычислениидействительных корней методом
- касательных и хорд в качестве подсобного средства,облегчающего вычисления,
- могут быть использованы «Таблицы значений многочленов»Иванова К. П.
- 2. Иногда бывает полезно цифрудесятых долей корня вычислить
- методом Руффини-Горнера, а затем уточнять кореньметодом касательных и хорд.
-
- Ответ: х1 » 1,7320 (± 0,0001).
- Задача 33. Отыщите
рациональные корни многочлена
- f(x). А)
f(х)
=х4 + х3 –11х2 – 5х + 30.
-
- Решение.
-
- Известно, что если многочлен f(x)
с целыми коэффициентами
имеет
- старший коэффициент 1, то он дробных рациональных корней не имеет.
- Следовательно, все его рациональные корни должны быть целыми числами.
- Известнотакже, что целые корни многочлена целыми коэффициентами
- находятся средиделителей свободного члена. В нашем случае делителями
- свободного члена (30)являются следующие числа:
-
±1, ±2,
±3, ±5, ±6, ±10, ±15, ±30.
- Теперь можно было бы каждое изэтих 16 чисел проверить
- подстановкой в многочлен или по схеме Горнера. Однакомногие из этих
- чисел можно «отсеять» более простым путем. Найдем границыдействительных
- корней данного многочлена: ВГх = 1 +
< 5; НГх
= –12.
- Следовательно, действительные и, в частности, рациональныекорни
- данного многочлена содержатся в промежутке (–12; 5).
- Поэтому остается проверить
следующие 9 чисел:
-
- Воспользуемся еще тем, что если a ¹ ±1 – целый корень
- многочлена f(x) с целыми коэффициентами, то числа
-
– целые.
- В нашем случае f(1) = 16; f(–1) =24. Отсюда видно, 1 и –1 не
- являются корнями f(x). Теперь проверим, для каких из оставшихся семи
- чисел a числа
и являются целыми.
- Результаты вычислений запишем в виде таблицы:

- (Здесь буквы ци д означают соответственно целым или дробным
- является число
или .) Из таблицы видно, что корни
- данного многочлена следуетискать среди чисел 2, 3, –3.
- Теперь, пользуясь схемой Горнера, проверим, будет ли каждое
- из этих чисел корнем многочлена.

- Так как остаток
от деления f(x) на х – 2 оказалсяравным нулю,
- то 2 – корень f(x). Проверим, не является ли 2 двукратным корнем, для
- чего полученноеот деления частное q(х) = х3 + 3х2 – 5х – 15
- снова разделим
на х – 2:

- Здесь остаток равен –5 ¹ 0; следовательно, число 2является простым
- корнем многочлена f(x). Теперь проверим число 3.Здесь можно на х – 3
- делить не f(x), а q(x):

- Из таблицы видно, что q(3) = 24 ¹ 0. Следовательно, число 3 не является
- корнем q(x), а значит, и f(x). Осталось проверить число –3.

- Число –3 –
корень многочлена q(x), а следовательно, и многочлена f(x).
- При этом свободный член частного q1(х)=х2 – 5 не делится на –3 и, значит,
- –3его корнем не является, т. е. –3 есть простой корень данного многочлена.
- Итак, многочлен f(x) имеет два рациональных корня: x1 =2 и х2 = –3,
- причем
- f(x)
= (х – 2)(х + 3)(х2
– 5).
- Теперь можно найти и два
остальных корня f(x): х3,4 = ±
. Они
- иррациональны.
- Б) f(x) = 4x5 + 12x4 +
x3 + 6x2 + 10x +
3.
-
- Решение.
- Здесь старший коэффициент f(x) отличен от 1. Следовательно,
- многочленможет иметь как целые, так и дробные рациональные корни
- (хотя с тем же успехомможет и не иметь ни тех, ни других). Их отыскание
- можно свести к отысканиюцелых корней некоторого нового многочлена,
- который получается из f(x) следующим образом. Умножим многочлен f(x)
- на 23 = 8 и сделаем подстановку
2х = у. Получиммногочлен который не имеет
- дробных корней. Найдя его целые корни (тем жеспособом, что и в предыдущей
- задаче) и разделив их на 2(так как
), получим все рациональные корни
- данного многочлена.
- Однако такое сведение необязательно. Можно находить сразу
- все рациональные корни данного многочлена,если воспользоваться
- следующей теоремой:
- «Если дробь – является корнем многочлена f(x) с целыми коэффициентами,
- то
является делителем
свободного члена, a q – делителем
- старшего коэффициента многочлена f(x).»
-
- Следовательно, корни нашего многочлена следует искать средичисел
-

-
- Для сокращения числа испытаний
найдем границы корней многочлена
- f(x). Замечаем, что все коэффициенты его положительны, а потому
- положительных корней он не имеет, т. е. ВГ = 0. Теперь найдем нижнюю
- границу

- Таким образом, корни данного многочлена
- находятся впромежутке (–4; 0), и, следовательно, осталось испытать числа
-

- Используем еще
тот факт, что если дробь
является корнем многочлена
- f(x), то
и – целые числа. Проверим это
условие для чисел
- (1), учитывая, что f(1) =36, f(–1)
= 6. Результаты запишем в таблицу.

Итак, корнями
многочлена f(x) могут быть лишь числа –3
и . Проверим каждое из этих чисел по схеме Горнера.

Таким образом,
многочлен f(x) имеет рациональные корни
x1 = –3, , (корень (–3)является простым,
ибо от деления f(x)
на х + 3 имеет свободный член 1, не делящийся на
(–3)), причем

Ответ: 
- Задача 34.Пользуясь критерием Эйзенштейна, докажите
- неприводимость над полем рациональныхчисел Q следующих
- многочленов: А) f(x) = 5х4 + 12х3 – 24х2 +
30х – 12;
- Б) f(x) = х5
+ 5х + 9.
-
- Решение.
- А) При р = 3 старший коэффициент многочлена f(x) не делится на 3,
- все остальные коэффициенты на 3 делятся, а свободный член, делясь на 3,
- неделится на 32. Следовательно, применяя критерий Эйзенштейна к
- многочлену f(x) при р = 3 заключаем, что многочлен f(x) неприводим в
- кольце Q[x].
- Б)
К многочлену f(x) = х5+ 5х + 9 критерий Эйзенштейна
- непосредственноприменить нельзя, так как нельзя подобрать такого
- простого числа р, на котороеодновременно бы делились 5 и 9. Но мы
- можем положить х = у + 1 и тогда получим:
-
f (y + 1) = j(y) = у5
+ 5у4 + 10у3 + 10у2 + 10у + 15.
- Теперь же требования критерия Эйзенштейна выполняются
при р = 5.
- Следовательно
j(y) и, тем самым,
исходный многочлен f(x),
- неприводимы над полем рациональных чисел Q.
- Задача 35. Разложите указанные многочлены на неприводимые
- множители над полями С, R и Q,
- А) f(x) = х5
+ 5х3 – 6х2;
- Б) g(x) = 3х6
+ 12х4 – 96х2;
- В) h(x) = х4
+ 4х3 – 2х2 – 4х + 1.
-
- Решение.
- А) f(x) = х5
+ 5х3 – 6х2 = х2(х3 + 5х + 6) =х2(х3
– х2 + х2 – х + 6х – 6) =
- = х2((х3 – х2) + (х2
– х) + (6х – 6)) = х2(х2(х – 1) + х(х – 1) + 6(х – 1))=
- = х2(х – 1) (х2 + х + 6) – это
разложение многочлена f(x) на неприводимые
- множители над полем Q и R.
- Теперь
находим корни трехчлена (х2+ х + 6). Вычисляем
- дискриминант.
- D = 12 – 4 × 1 × 6 = 1 – 24 = –23.
- Отсюда
получаем:


-

- Следовательно,
.
-
- Таким образом, разложение многочлена f(x) на неприводимые множители
- над полем С имеет вид:
.
- Б)
- g(x) = 3х6 + 12х4 – 96х2
= 3х2(х4 + 4х2 – 32) = 3х2(х4
– 4х2 + 8х2 – 32) =
- = 3х2((х4 –
4х2) + (8х2 – 32)) = 3х2((х2(х2
– 4) + 8(х2 – 4)) = 3х2((х2 – 4) (х2+
8) =
- = 3х2((х2 + 2)(х – 2) (х2 +
8) – это разложение многочлена на g(x) на
- неприводимые множители над полем Q и R.
-
- Теперь имея
-

-
- , получаем разложение многочлена g(x) нанеприводимые множители над
- полем G.
-

-
- В)
- h(x) = х4 + 4х3 – 2х2 –
4х + 1.
-
- Сразу
отмечаем, что h(x) является многочленом с целыми
- коэффициентами и,используя теорему о рациональных корнях многочлена,
- устанавливаем, что х = 1 –один из корней этого многочлена.
- Тогда
получаем: х4 + 4х3 – 2х2 – 4х + 1 = (х – 1)×g(x).
- Коэффициента частного g(x) находим,
например, по схеме Горнера:

- Значит, х4 + 4х3 – 2х2
– 4х + 1 = (х – 1)×(х3 + 5х2 + 3х – 1).
- Аналогично замечаем, что х3 + 5х2
+ 3х – 1 обращается в нуль при
- х = –1.
- Следовательно,
х4 + 4х3 – 2х2 – 4х + 1 = (х – 1)×( х + 1)×f(x) .
- Коэффициенты частного снова находим по схеме Горнера:

- Отсюда получаем:
- h(x) = х4
+ 4х3 – 2х2 – 4х + 1 = (х – 1)×( х + 1)× (х2+ 4х – 1) –
- это есть разложениемногочлена h(x) на неприводимые множители над полем Q.
- Поскольку 2х2
+ 4х – 1=х2 + 4х + 4 – 5 = (х + 2)2 – 5 =
, то получаем
- разложение многочлена h(x) на неприводимые
множители над полями R и С:
- h(x) = х4
+ 4х3 – 2х2 – 4х + 1=(х – 1)×( х + 1)×
.
- Задача 36.
Решите кубическое уравнение х3 +6х2 +6х– 13 = 0.
-
- Решение.
- Воспользуемся методом Кордано.
Сначала произведем подстановку:
(исходим из общего вида кубического уравнения
- х3 + ах2 + bх + с = 0).
Цель этой подстановки - избавиться от члена,
- содержащего переменную х2.
- Получаем:
-
(у – 2)3 + 6(у – 2)2 + 6(у – 2)–
13 = 0,
- или
-
у3 – 6у2 + 12у – 8 + 6у2
– 24у + 24 + 6у + 12 – 13 = 0,
- или
-
у3 – 6у – 9 = 0 (где х = у – 2).
- Отсюда
находим
, исходя из того, что
- х3 + рх + q = 0:
-

- Значит,
a1 = 2 и тогда, согласно теории

- И
тогда по формулам
-
-
-
- получаем:
-
у1 = 2 + 1 = 3, 
- Учитывая подстановку х = у – 2, получаем окончательно:
-
х1 = 3 – 2 = 1,  
- Ответ. {1;
 }.
- Задача 37.Решите методом Феррари уравнение четвертой
- степени х4 – 2х3
+ 5х2 + 6х + 9 = 0.
-
- Решение.
-
- Перенесем в правую частьуравнения последние три его члена,
- получим
-
- Выделим
полный квадрат в левой части уравнения:
-
(х2)2 + 2 × х2 × х + х2 – х2 = –5х2 –
6х – 9,
-
или (х2 + х)2 = –4х2
– 6х – 9.
- Введемвспомогательную переменную у таким образом,
- чтобы левая часть уравнения приэтом оставалась полным квадратом:
-
(х2
+ х)2 + 2 × (х2 + х)×у + у2 – 2(х2
+ х)× у – у2 = –4х2
– 6х – 9,
-
или (х2
+ х + у)2 = 2 × (х2 + х)×у + у2 – 4х2
– 6х – 9,
-
или (х2 + х + у)2 = 2х2у
+ 2ху + у2 – 4х2 –
6х – 9,
- или (х2 + х + у2)2 = (2у
– 4)х2 + (2у – 6)х + у – 9. (1)
- Подберемзначение переменной у таким образом, чтобы и правая
- часть стала полнымквадратом.
- Так
как правая часть относительно переменной х имеет вид
-
- то правая часть будет полным квадратом при условии В2
– 4АС = 0.
- В
нашем случае В = 2у – 6, А = 2у – 4, С = у2 – 9. Отсюда получаем:
-
(2у – 6)2 – 4×(2у – 4)(у2 – 9) = 0,
-
или (2(у – 3))2 – 4 × 2(у – 2)(у + 3)(у – 3) = 0,
-
или (у – 3) × [2(у – 2) – 8 × (у – 2)(у + 3)]
= 0.
-
Полученное уравнение есть уравнениетретьей степени относительной переменной у,
его называют кубической резольвентой.Одним из корней этого уравнения является у = 3. Подставим это значениепеременной ув уравнение (1) иполучим:
-
- Оноравносильно совокупности двух квадратных
- уравнений

- Решаяэти квадратные уравнения, получаем все четыре корня
- исходного уравнения:
-
-
- Ответ: {
   }.
- Задача 38.Определите количество действительных корней
- многочленов : А) f(x) = х3
– 6х – 9;Б) g(x) = х3 – 12х + 16;
- В) h(x) = х3
– 19х + 30.
- Решение.
- В кубическом уравнении х3
+px + q= 0
- выражение
называется дискриминантом.
- Доказано, что
- 1)
если D = 0, то уравнение х3
+px + q= 0 имеет два действительных
- корня, из которых один двукратный;
- 2)
если D > 0, то уравнение х3 +px + q = 0 имеет один действительный
- корень;
- 3)
если D < 0, то уравнение х3 +px + q = 0 имеет три действительных
- корня.
- В
нашем случае имеем следующие варианты.
- А) здесь р = –6, q = –9, поэтому
, следовательно, многочлен f(x)
- имеет один действительныйкорень.
- Б) здесь р = –12, q = 16, поэтому
следовательно, многочлен g(x) имеет двадействительных
- корня, из которых один двукратный.
- В) здесь р = –19, q = 30 поэтому
следовательно, многочлен h(x) имеет три
- действительных корня.
- Случай
В) является особенным тем, что формула Кордано к
- многочлену h(x) неприменима
(корнями h(x) являются действительные числа
- 2, 3 и (–5)). Этотслучай в алгебре называется неприводимым(не
- смешивать с неприводимостью многочленов).
-
- Ответ:
- А) один действительный корень;
- Б)
два действительных корня, один из которых двукратный;
- В) три действительных корня.
-
- Замечание.
Если дано полное кубическое уравнение
- у3 + ау2
+ by + с = 0, то с помощью подстановки
- его нужнопредварительно привести к виду х3
+px + q = 0, а затем уж
- воспользоваться дискриминантом.
§ 4. Многочлены от нескольких переменных
- Задача 39.
Выполните действия над многочленами
и 
- запишите получившийся многочлен лексикографически и укажите его
- высший член.
-
- Решение.
- В теории показано, что множество
многочленов от nпеременных
- образуют кольцомногочленов К [x1, x2, …, xn]. Значит, многочлены от nпеременных
- можно складывать,вычитать и умножать.
- Следовательно,
всегда можно определить многочлены
- (f + g), (f – g), (f × g).
-
- Исходя
из этого и находим:
- 1)



- Высший
член получившегося многочлена есть (6x1 x2).
- 2)


- Высший
член получившейся разности есть (–4х1х2).
- 3)





- Высший член произведения есть

- Ответ:
- 1)
(высший член 6x1 x2);
- 2)
(высший член (–4х1х2));
- 3)
(высший член ).
-



   





- Задача 42.
Решите иррациональные уравнения.
- А) Решим иррациональное уравнение

-
- Решение.
-
- Напрашиваются обозначения:
, .
- В этих обозначениях получаем систему двух симметрическихуравнений
-
Эта система решена в задаче 41(А): x1=1, x2=2или x1=2, х2=1. В первом случае получаем , откуда х+8=1, х=-7. Значение х3=2 приводит к тому же
результату. При х1=2 получаем , откуда х+8=16 и х=8. Случай х3=1приводит к этому жерезультату.
-
- Ответ:{–7; –8}.
- Задача 43. Составьтеквадратное уравнение, корнями
- которого являются кубы корней многочлена f(x) = х2
+ 13х + 48.
-
- Решение.
Обозначим корни данного многочлена f(x) через х1 и х2.
Если искомое квадратное уравнение записать в виде х2 + ах + b = 0, то по теореме Виета мы имеем
-
-
Рассматривая выражения как многочлены от переменных х1 и х2,
выразим их через элементарные симметрические многочлены:
- .
- Если теперь переменным х1 и х2 придатьзначения корней данного уравнения,
- то получим:
- s1 = х1
+ х2 = –13,
- s2 = х1
× х2 = 48.
- Отсюда и получаем:

- Таким образом, получаем квадратное
уравнение:
-
-
- Ответ: х2 – 4069х + 110592 = 0.
- Задача44. Найдите сумму кубов корней
- уравнения х4+2х3 +х2
+ 5х + 3 = 0.
-
- Решение.
-
Обозначим корнинашего уравнения через х1, х2, х3 и х4.Нам требуется найти многочлен , не находя самих корней х1,
х2, х3 и х4.По формулам Виетанайдем значения элементарных симметрических многочленов от корней нашегоуравнения:
-
s1 = –2, s2 = 1, s3 = –5, s4 = 3.
Теперь выразим
многочлен f(х1, х2, х3, х4), которыйявляется однородным симметрическим многочленом, через элементарные симметрическиемногочлены s1, s2 , s3 и s4.Получаем: (проверьте это!)Подставляем сюда
наши значения для d1, d2 , d3, получаем:
-
ОТВЕТ: 
|