Образцы решений основных задач

§ 2. Теория делимости многочленов

                Задача 14. Выполните деление с остатком многочлена  

f(x) = 3x⁴ + 5x³ – x² + 2 на g(x) = 2x² + 3x + 1 двумя способами:

                А) «уголком»;

                Б) с помощью метода неопределенных коэффициентов.

             Решение.

             А) Разделим «уголком» многочлен f(x) большейстепени на многочлен

q(x) меньшей степени:

1. Уравниваем старшие коэффициенты многочленов, длячего многочлен

g(x) умножим на 3х², а затем находим разность  f₁(x) = f(x) – – g(x) × 3x²: 

Таким образом, cтепень многочлена f₁(x) больше степени делителя g(x),

поэтомуповторяем шаг деления «уголком».

               

2. Уравниваем старшие членымногочленов f₁(x) и g(x), для чего

многочлен h(x) умножим на (–4х), а затем найдем разность   

 f₂(x) = f₁(x) – h(x) × (–4х). 

               

             Таким образом, получаем f₁(x) = g(х) × (–4)х + f₂(x), откуда,  

f(x) = g(x) × 3x² + g(x) × (–4х) + f₂(x) = g(x) × (3x² – 4x) + f₂(x). Степень

многочлена f₂(x) равна степени делителя g(x), поэтому повторяемеще раз

шаг деление «уголком».     

               

3. Уравниваем теперь старшиечлены многочленов f₂(x) и g(x),

для чего g(x) умножаем на 8 и находим разность f₂(x) – g(x) × 8:

Степеньразности r(x) = f₂(x) – g(x) × 8 = –20х – 6 меньшестепени

делителя g(x), поэтому деление «уголком» закончено. Таким образом,

 f(x) = g(x) × 3x² + g(x) × (–4х) + f₂(x) = g(x) × 3x² + g(x) × (–4х) + 

 + g(x) × 8 + r(x) = g(x) × (3x² – 4х + 8) +  r(x).

             В итоге получаем неполное частное g(x) = 3x² – 4х + 8 и остаток

r(x) = –20х – 6.

             В «свернутом» виде алгоритмделения «уголком» в нашем с

лучае выглядит так:

             Ответ:g(x) = 3х² – 4х + 8, r(x) = –20х – 6.

             Б) При выполнении деления спомощью метода неопределенных

коэффициентов используется теорема о делении состатком

f(x) = g(x) × q(x) + r(x), где r(x) – либо нулевой многочлен, либо его степень

меньшестепени делителя g(x).

             В нашем случае делимое f(x) имеет четвертую степень, делитель

g(x) имеет вторую степень, откуда заключаем, что неполное частное

q(x) должно иметь вторую степень, а остаток r(x) - первую степень. Тогда

3x⁴ + 5x³ – x² + 2 = (х² + 3х + 1) × (Ах² + Вх + С) + (Dх + Е),

где А, В, С, D, Е – неопределенные коэффициенты. Чтобы их найтираскроем

скобки в правой части равенства, получим:

                3x⁴ + 5x³ – x² + 2 = Ах⁴ + Вх³ + Сх² + 3Ах³ + 3Вх² + 3Сх + 

+ Ах² + Вх  + С + Dх + Е.

             Приравняем теперь на основанииопределения равенства

многочленов коэффициенты при одинаковых степенях х слеваи справа,

получим систему линейных уравнений, которую решаем любым

удобнымспособом:

             Отсюда заключаем:

             Значит, q(x) = 3x² – 4х + 8, r(x) = –20х – 6.

             Ответ:q(x) = 3x² – 4х + 8, r(x) = –20х – 6.