Образцы решений основных задач

§ 2. Теория делимости многочленов

                Задача 15. Известны делимое f(x)=x⁵+2x⁴+3x³+4х²+ х – 4,

неполное частное q(x) = x³+ 2х² – 2 и остаток r(x) = х + 2.Найдите

делитель g(x).

          Решение.

          Из теоремы о делении с остатком имеем f(x)=g(x)×q(x)+r(x),

где r(x) – либо нулевой многочлен, либо его степень меньше степени делителя

g(x).

          В нашем случае получаем:  

                x⁵ + 2x⁴ + 3x³ + 4х² + х – 4 = g(x) × (х³ + 2х² – 2) + (х + 2);

                х⁵ + 2х⁴ + 3х³ + 4х² + х – 4 – х – 2 = g(x) × (х³ + 2х² – 2);

                х⁵ + 2х⁴ + 3х³ + 4х² – 6 = g(x) × (х³ + 2х² – 2).

          Делитель g(x) находим с помощью деления «уголком» многочлена

f(x) на многочлен q(x):

          Значит, g(x) = х² + 3.

          Ответ: g(x) = х² + 3.