Образцы решений основных задач

§ 2. Теория делимости многочленов

                Задача 16. Найдите НОД многочленов f(x) и g(x) с помощью

алгоритма Евклида, зная что

f(x) = x⁶ – 7x⁴ + 8x³ – 7х  + 7, g(x) = 3x⁵– 7х³ +3х² – 7.

          Решение.

          Решение начнем с Замечания1.

Наибольшийобщий делитель многочленов находится однозначно лишь с

точностью до постоянногомножителя (постоянные множители, отличные от нуля,

на делимость многочленов невлияют). Поэтому, можно условиться в качестве

наибольшего общего делителямногочленов, брать тот, у которого старший

коэффициент равен единице.

          Так как постоянные множители невлияют на делимость многочленов,

то в процессе применения алгоритма Евклида, во избежание громоздких

вычислений с дробнымичислами, делимые многочлены и делители можно

умножить на любые отличные от нулячисла. При этом интересующие нас

остатки будут приобретать некоторые постоянныемножители, что для нас

не имеет значения, частные же будут «портиться», однакоони нами при

нахождении наибольшего общего делителя не используются.

          Так, при решении нашей задачи мы видим, что при делении

f(x) на g(x) сразу появятся дробные числа. Чтобы избежать этого,

умножим f(x) на 3 и многочлен 3f(x) разделим на g(x):

          Здесь полученный остаток мы умножим на  и полученный

многочлен d₁(x) записали под двойной чертой.

Теперь многочлен 2 × g(x) разделим на d₁(x):

          Здесь мы промежуточный остатокумножим на 2

(в результате частное стало неверным – в знак этого члены

частногоотделены двойной вертикальной чертой) и последний

остаток умножили на (–1).

          Теперь надо многочлен (2х⁴ – 3х³ + 2х – 3) разделить на (х³ + 1): 

          Здесь остаток равен нулю.

          Значит, (f(x); g(x)) = х³ + 1.

          Ответ: (f(x); g(x)) = х³ + 1.

          Замечание 2.

Найдем с помощью алгоритма Евклида наибольший общийделитель

многочленов f(x) = х⁴ – 2х³ – 4х² + 4х – 3 и g(x) = 2х³ – 5х²– 4х + 3,

пользуясь сделанным выше замечанием 1 и не приводяподробных объяснений.

          Отсюда заключаем, что (f(x); g(x) = х – 3.

          Ответ: (f(x); g(x) = х – 3.