Образцы решений основных задач

§ 2. Теория делимости многочленов

                Задача 17. Найдите линейную форму НОД многочленов

f(x) и g(x) наиболее удобным способом, если

А) f(x) = х⁴ + 3х³ – х² – 4х –3, g(x) = 3х³ + 10х² + 2х – 3.

Б) f(x) = х⁵ + х⁴ + 2х³ + 2х² + 2х +1, g(x) = х ⁴ + 4х³ + 6х² + 5х + 2.

          Решение.

          Приведем два способа решения данной задачи.

         

          А) С помощью алгоритма Евклида.

Применим к многочленам f(x) и g(x) алгоритмЕвклида.

Заметим, что здесь произвол, состоящий в умножении многочленов на

постоянныемножители возможный при нахождении наибольшего общего

делителя, допускать нельзя,так как здесь мы будем использовать и частные,

которые при указанном произволемогут искажаться.

          Линейная форма НОД многочленов f(x) и g(x) имеет вид:

f(x) × U(x) + g(x) × V(x) = d(x),

где d(x) – это НОД многочленов f(x) и g(x), а U(x) и V(x) таковы,

что степень многочлена U(x) меньше степени многочлена g(x),

а степень V(x) меньше степени f(x).

          Наша задача состоит в нахождении многочленов U(x) и

V(x), удовлетворяющих озвученному выше условию.

          Сначала находим НОД многочленов f(x) и g(x):

          Следовательно, (f(x); g(x)) = 9х + 27 = 9 × (х + 3), т.е. (f(x); g(x)) = х + 3.

          Из этого получаем:

          Из последнего равенства находим:

          Из первого равенства находим:

          Подставим это в предыдущее равенство и получим:

          Отсюда заключаем, что

          Значит, линейная форма НОД многочленов f(x) и g(x) имеет вид:

          Ответ:

          Б) С помощью метода неопределенных коэффициентов.

Применим к многочленам алгоритм Евклида

Следовательно D(x) = (f(x); g(x)) = х² + х + 1.

Делим теперь f(x) и g(x) на D(x), например «уголком»:

          Следовательно, f₁(x) = х³ + х + 1, g₁(x) = х²+ 3х + 2.

Согласно теории, многочлены f₁(x) и g₁(x) взаимнопросты. Поэтому

должно выполняться равенство: f₁(x) × U(x) + g₁(x) × V(x) = 1, при

этом степень многочлена U(x) меньше степени многочлена g₁(x), а

степеньмногочлена V(x) меньше степени многочлена f₁(x).

          Имеем:

f₁(x) = х³ + х + 1 – многочлен третьей степени, а, значит,  

V(x) = Ах² + Вх + С;

g₁(x) = х² + 3х + 2 – многочлен второй степени, поэтому  

U(x) = Dх + Е.

          И тогда получаем:

(х³ + х + 1) × (Dх + Е) + (х² + 3х + 2) × (Ах² + Вх + С) = 1.

          Раскрываем скобки в левой части равенства:

Dх⁴ + Dх² + Dх + Ех³ + Ех + Е + Ах⁴ + Вх³ + Сх² + 3Ах³ + 3Вх² + 

+ 3Сх + 2Ах² + 2Вх + 2С = 1.

          Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х слева и

справа, получаем систему линейных уравнений, которую решаем любым

известнымспособом:

          Следовательно,

          Умножим полученное равенство на D(x) = х²+ х + 1, получим линейную

форму НОД для многочленов f(x) и g(x):

          Ответ: