Образцы решений основных задач

§ 2. Теория делимости многочленов

                Задача 18. При помощи методанеопределенных коэффициентов

найдите многочлены U(x) и V(x) такие, что

f(x) × U(x) + g(x) × V(x) = 1, если f(x) = 2х² – 4х + 9,

g(x) =3х² + х + 7.

          Решение.

          Искомые многочлены U(x) и V(x) обладают темсвойством,

что степень многочлена U(x) меньше степени многочлена g(x), а степень

многочлена V(x) меньше степени многочлена f(x). Многочлены f(x) и g(x)

оба имеютвторую степень, и значит, многочлены U(x) и V(x) имеют вид:

U(x) = Ах + В, V(x) = Сх + D. Тогда получаем:

(2х² – 4х + 9) × (Ах + В) + (3х² + х + 7) × (Сх + D) = 1.

          Раскрываем скобки в левой части равенства:

2Ах⁴ + 2Вх² – 4Ах² – 4Вх + 9Ах + 9В + 3Сх³ + 3Dx² + Cx² + Dx +

+ 7Cx + 7D = 1.

          Приравнивая коэффициенты приодинаковых степенях в левой

и правой частях равенства получаем систему линейныхуравнений:

          Решим ее, например, методом Гаусса:

Значит,

          Ответ: