|
Образцы решений основных задач
§ 2. Теория
делимости многочленов
- Задача 20. Выделив кратные множители,
разложите многочлен
- f(x) = х5 – х3 –3х – 2 на неприводимые множители надполем
- действительных чисел R:
Решение.
- 1) Запускаем алгоритм отделения кратных множителей.
- Шаг 1. Полагаем d0(x) = f(x) и находим f ¢(x) = 5х4 – 3х2 –8х – 3.
- Воспользуемся алгоритмом Евклидадля нахождения d1(x) = (f(x); f ¢(x)).

Снова делим делитель на остаток:

Следовательно,
d1(x) = (f(x); f ¢(x)) = х2 + х + 1.
Отсюда получаем d2(x) = (d1(x); )Легко видеть, что d2(x) = 1.
Шаг 2. Находим путем деления «уголком» и полагаем D3(х) = 1. Следовательно, f(x) = (х – 2)×(х2 + х + 1)2.
Анализируя результат, мызаключаем, что получим разложение данного многочлена в произведениенеприводимых множителей над полем действительных чисел R, что нам нужно было сделать. Ответ: f(x) = (х – 2)×(х2 + х + 1)2.
|