Образцы решений основных задач

§ 2. Теория делимости многочленов

                Задача 21. Найдите наибольший общий делитель многочлена

f(x)  = (х + 1) × (х⁴ – 1) × (х³ – 1) и его производной f ¢(x).

          Решение.

          Длярешения задачи воспользуемся теоремой о кратных множителях:

«если некоторыйнеприводимый над полем Р многочлен р(х) является

k - кратным множителем многочлена f(x) с коэффициентами из поля Р,

тор(х) является (k – 1) - кратным множителем его производной   f ¢(x)».

          Так как коэффициенты многочлена f(x)  рациональны, то в качестве

поля Р можно взятьполе R - расширение поля Q(не будет ошибки, ели взять

и более широкое поле(например, поле комплексных чисел С), но в этом случае

решение задачи будетболее громоздким).

          Находим каноническое разложение многочлена f(x)  над полем R.

Так как

                х⁴ – 1 = (х² + 1) × (х² – 1) = (х² + 1) × (х + 1) × (х – 1),

                то х³ – 1 = (х – 1) × (х² + х + 1),

                f(x) = (х + 1)² × (х – 1)² × (х² + 1) (х² + х + 1).

          Множители (х + 1) и (х – 1) входят в f(x)  с кратностью 2. Следовательно,

в f ¢(x) они выйдут с кратностью 1.

          Множители (х² + 1) и  (х² + х+ 1) являются простыми

(иначе, однократными) множителями f(x) , а поэтому в разложение f ¢(x)

они не войдут.

          Значит, (f(x); f ¢(x)) = (х + 1) × (х – 1) = х² – 1.

          Ответ: (f(x); f ¢(x)) = х² – 1.