Образцы решений основных задач

§ 2. Теория делимости многочленов

                Задача 22. Известны многочлены f(x)  и (f(x); f ¢(x) ) = d(x).

Найдитеканоническое разложение многочлена f(x) ,

если f(x)  = х⁴ – – 3х³ – 6х² + 28х – 24 и d(x) = (х – 2)².

             Решение.

             Из условия задачи следует, что f(x)  (х – 2)² и  f ¢(x) (х – 2)².

Таккак множитель (х – 2) является двукратным неприводимым множителем

производной f¢(x), то он будет, следовательно, трехкратным неприводимым

множителем многочлена f(x) (теорема о кратных множителях), т.е.

              Но (х – 2)³ = х³ – 6х² + 12х – 8.

              Используяалгоритм деления многочленов «уголком»,

находим многочлен h(x):

Значит, h(x) = х + 3.

Следовательно, каноническоеразложение многочлена f(x)  имеет вид:

f(x) = (х – 2)³ × (х + 3).

        Ответ: f(x) = (х – 2)³ × (х + 3).