Образцы решений основных задач

§ 2. Теория делимости многочленов

                Задача 23. Найдите наибольший общий делитель и наименьшее

общее кратноемногочленов f(x) = (х² + 5х + 6)×(х²–1) и h(x) = (х⁴ – 2) ×

 × (х² + 2х – 3).

     Решение.

Чтобы найти наибольший общий делитель многочленов f(x)  и h(x)

достаточно выписать всеодинаковые неприводимые множители данных

многочленов и найти их произведение.

Чтобы найти наименьшее общеекратное многочленов f(x)  и h(х), нужно

выписать всенеприводимые множители из разложения f(x)  и приписать

к ним недостающие неприводимыемножители из разложения h(x) и найти

их произведения.

Многочлены f(x)  и h(x) имеют рациональныекоэффициенты.

Следовательно, достаточно разложить их на неприводимые множителинад

полем действительных чисел R.

     Имеем:

х² + 5х + 6 = (х + 2) × (х + 3),

х² – 1 = (х + 1) × (х – 1),

х² + 2х – 3 = (х + 3) ×(х – 1).

 

f(x) = (х + 2) × (х + 3) × (х + 1) × (х – 1).

h(x) = (х⁴ – 2) × (х + 3) × (х – 1).

     Отсюда и получаем, что

(f(x); h(x)) = (х + 3) × (х – 1) = х² + 2х – 3;

[f(x); h(x)] = (х + 2)×(х + 3)× (х + 1)× (х – 1)× (х⁴ – 2) = (х² + 5х + 6) ×

× (х² – 1) × (х⁴ – 2).

     Ответ: (f(x); h(x)) = х² + 2х – 3;

  [f(x); h(x)] = (х² + 5х + 6) × (х² – 1) × (х⁴ – 2).