practica

Образцы решений основных задач

§ 2. Теория делимости многочленов

Задача 24. Найдите наибольший общий делитель многочленов
f(x) = (х³ – 2) × (х² + 1) × (х + 1)² и g(x) = х⁹ – 3х³ – 2.

Решение.

Многочлены f(x) и g(x) рассмотрим над полем рациональных чисел Q, так как их коэффициенты рациональны. Многочлен f(x) представленсвоим разложением на неприводимые множители над полем Q. Многочлен g(x) записан в стандартном виде по убывающим степеням.

Испытаем неприводимые множители многочлена f(x):

Убеждаемся, что g(x) делится на (х³– 2), но не делится на (х³ – 2)², не делится на
(х² + 1) и делится на (х + 1)².Отсюда и заключаем,
что (f(x); g(x)) = (х³– 2) × (х + 1)².

Ответ: (f(x) ; g(x)) = (х³– 2) × (х + 1)².

Задание.Проверьте самостоятельно с помощью деления «уголком» что g(x)
делится на (х³ – 2), но не делится на (х³ – 2)², не делится на (х²+ 1) иделится на
(х + 1)².