|
Образцы решений основных задач
§ 3. Многочлены над числовыми полями
- Задача 27.
Пользуясь формулами Виета, составьте многочлен
- f(x) , имеющий корни х1 = х2
= 4, х3,х4 = 1 ± 2i.
-
- Решение.
- Длярешения задачи воспользуемся формулами Виета, которые
- выражают коэффициентыискомого многочлена f(x) через его
корни.
- Таккак искомый многочлен должен иметь 4 корня, то наименьшая
- возможная его степеньравна четырем. Значит,
f(x) = а0х4 +
а1х3 + а2х2 + а3х + а4,
- где а0 можно взятьпроизвольно, а остальные коэффициенты следующим
- образом выражаются через корни х1, х2, х3, х4 многочлена f(x):
- а1
= –а0(х1 + х2 + х3 + х4),
- а2
= а0(х1х2 + х1х3 + х1х4
+ х2х3 + х2х4 + х3х4),
- а3
= –а0(х1х2х3 + х1х3х4
+ х1х2х4 + х2х3х4),
- а4
= а0х1х2х3х4.
- Положим а0 =1, а
вместо х1, х2, х3, х4 подставимсоответственно числа
- из условия и получим:
- а1
= 4 + 4 +(1 + 2i) + (1 – 2i) = 10,
- а2
= 4 × 4 + 4(1
+ 2i) + 4 × (1
– 2i) + 4 ×
(1 + 2i) + 4 ×
(1 – 2i) +
- + (1 + 2i)(1 – 2i) = 16 + 4 + 8i + 4 – 8i+ 4 + 8i + 4 – 8i + 1 – 4i2 = 37,
- а3
= –(4 × 4 × (1 + 2i)
+ 4 × 4 × (1
– 2i) + 4 ×
(1 + 2i) (1 – 2i) + 4 ×
- ×
(1 + 2i)(1 – 2i)) = –(16 + 32i + 16 – 32i + 4 – 16i2 + 4 – 16i2)
= –72,
- а4 = 4 × 4 × (1 + 2i) (1 – 2i) = 16(1 – 4i2) = 80.
-
- Следовательно,
f(x) = х4 + 10х3
+ 37х2 – 72х + 80.
-
- Ответ:
f(x) = х4 + 10х3 + 37х2 – 72х + 80.
|