Образцы решений основных задач
§ 3. Многочлены над числовыми полями
- Задача 28. Найдите приведенный многочлен наименьшей
- степени сдействительными коэффициентами, имеющий набор
- корней: 3, –2 и (3 – 2i).
-
- Решение.
- Согласно теории все комплексныекорни многочлена с действительными
- коэффициентами попарно сопряжены. В связи сэтим, так как х3 = 3 – 2i- корень
- искомого многочлена, то корнем его будет и х4 = 3 + 2i.
- Таким образом, искомый многочлен f(x) имеетчетыре корня, а так как
- он имеет наименьшую степень, то
- f(x) = ( х – 3)(х + 2)(х –(3 – 2i))(х –(3 + 2i)).
- Отсюда
получаем:
- f(x) = (х2 – х – 6)(х2
– х(3 + 2i)–(3 – 2i)х +(3 – 2i)(3 + 2i)) = (х2 – х – 6) ×
- × (х2 – 3х – 2iх – 3х + 2iх + 9 – 4i2) = (х2 – х – 6) × (х2 – 6х + 13) = х4 –
- – 6х3 + 13х2 – х3 + 6х2
– 13х – 6х2 + 36х – 78 = х4 – 7х3 + 13х2
+ 23х – 78.
- Ответ: f(x) = х4 – 7х3 +
13х2 + 23х – 78.