Образцы решений основных задач
§ 3. Многочлены над числовыми полями
- Задача 29. Дан многочлен f(x) = 3х4 – 5х3 + 3х2 +4х – 2 с
- действительными коэффициентами и a = 1 + i – один изего корней.
- Найдите остальные корни многочлена f(x).
- Решение.
- Так как f(x) – многочлен с действительными коэффициентами и
- a = 1 + i – его корень (он – комплексный корень), то корнем f(x) будет и
- сопряженное с a число
- Тогда
получаем:
- f(x) = (х – (1 + i))(х – (1 – i))× h(x).
- Или
иначе:
- 3х4 – 5х3 + 3х2 + 4х +
2 = (х2 – х (1 – i))–(1 + i))х + (1 + i)(1 – i)× h(x).
- 3х4 – 5х3 + 3х2 + 4х +
2 = (х2 – х + iх – х – iх + 1 – i2) × h(x).
- 3х4 – 5х3 + 3х2 + 4х +
2 = (х2 – 2х + 2) × h(x).
- Отсюда
получаем:
- Деление
выполним «уголком».
- Значит,
получаем, что
- 3х2 + х – 1 = 0.
- D = 12 – 4 × 3 × (–1) = 1 + 12 = 13.
- Следовательно, если a1 = 1 + i то остальными корнями многочлена
- f(x) будут:
- a2 = 1 – i,
- Ответ:
