Образцы решений основных задач

§ 2. Теория делимости многочленов

                Задача 30.Найдите границы действительных корней

многочлена f(x) = х⁵ + 5х⁴ + 10х³ – 5х – 3.

               А) с помощью формул;

               Б) с помощью метода Ньютона.

               Сопоставьте результаты.

 

             Решение.

             Найти границы действительных корней многочлена f(x)  - значит

найти такие два числа М₁ и М₂, что для любого действительного корня l

многочлена f(x)  выполняются неравенства

М₁ < l < М₂.

             При этом М₁ называют нижней границей (НГ), а М₂- верхней

границей (ВГ) действительныхкорней многочлена на f(x).

             А) Во-первых, можно воспользоваться формулами ,  

, где А – наибольшая из абсолютных величин коэффициентов,

а₀ – старший коэффициент многочлена f(x) .

             В нашем случае имеем: А = 10, а₀ = 1; отсюда получаем ВГ = 11,

НГ = –11,то есть действительные корни многочлена на f(x)  заключены в

промежутке (–11; 11).

             Во-вторых,  , где m – индекс первого отрицательного

коэффициентамногочлена f(x) = а₀хⁿ + а₁х^n–1 +…+ а_n–1х + аn, В – наибольшая из

абсолютных величин его отрицательных коэффициентов (при этом надо иметь

ввиду, что а₀ > 0). В нашем примере m = 4, В = 5, а₀= 1.

Значит, 

             Для нахождения НГ этим способом достаточно вместо х подставить

(–х) ивоспользоваться следующим правилом:НГ действительных корней

многочлена f(x) равна ВГ действительных корней многочлена f(–x), взятой

спротивоположным знаком.

             В нашем случае f(–x) = –х⁵ + 5х⁴ – 10х³ + 5х – 3.

Так как а₀ = –1 < 0, то умножим f(–x) на число (–1), что не измениткорней

многочлена f(–x) и, значит, не изменятся границы корней:

–f(–x) = х⁵ – 5х⁴ + 10х³ – 5х + 3.

Теперь имеем: а₀ = 1, m = 1, В = 5 и ВГ = 1 + 5 = 6 (под корнем 1-ой степени

будемпонимать само это число). Следовательно, для данного многочлена

f(x)  имеем НГ = –6.

             Итак, корни действительные многочлены f(x) заключены в интервале

(–6; 3).

             Б) Метод Ньютона основан на утверждении:

«если при х = с многочлен f(x)  и все его последовательные производные f ^I(x), 

 f ^II(x), …, f⁽ⁿ⁾ (x) принимает положительные значения, то число cслужит

верхней границей положительных корней».

             В нашем случае:

f(x) = х⁵ + 5х⁴ + 10х³ – 5х – 3;

f ^I(x) = 5х⁴ + 20х³ + 30х² – 5;

f ^II(x) = 20х³ + 60х² + 60х;

f ^III(x) = 60х² + 120х + 60;

f ^IV(x) =120х + 120;

f ^V(x) = 120.

Вполне очевидно, что при х = 1 многочлен f(x)  и все его производные

принимаютположительные значения. И, значит, х = 1 – ВГ положительных

действительныхкорней.

             Теперь рассмотрим вспомогательный многочлен 

f(–x) = –х⁵ + + 5х⁴ – 10х³ +5х – 3. Поскольку старший коэффициент

отрицателен, то будем рассматривать

 –f(–x) = х⁵ – 5х⁴ + 10х³ – 5х + 3.

(–f(–x))^I = 5х⁴ – 20х³ + 30х² – 5.

(–f(–x))^II = 20х³ – 60х² + 60x.

(–f(–x))^III = 60х² – 120x + 60.

(–f(–x))^IV = 120x – 120.

(–f(–x))^V = 120.

Вполне очевидно, что при х = 2 многочлен (–f(–x))  и всего производные

положительны. Это означает, что х = 2 – ВГ положительных действительных

корней.И, значит, х = –2 – НГ отрицательных действительных корней.

             Итак, действительные корни многочлена f(x)  заключены в

интервале (–2; 1).

             Сопоставляярезультаты, заключаем, что наиболее хороший результат,

несмотря нагромоздкость, дает метод Ньютона.

             Замечание.Еще раз подчеркнем, что для указания границ

действительных корней многочлена f(x)  достаточно уметь находить лишь ВГ

положительных его корней.

             Пусть f(x)  - многочлен степени n и N₀есть ВГ его положительных

действительных корней.Рассмотрим вспомогательные многочлены

.

Находим ВГ их положительных корней. Пусть это будут числа

7N_1, N₂, N₃. Доказано, что – это НГ положительных действительных корней;

(–N₂) – это НГ отрицательных действительных корней; 

– это ВГ отрицательных действительных корней.