|
Образцы решений основных задач
§ 3. Многочлены над числовыми полями
- Задача 31. Пользуясьтеоремой Штурма, отделите действительные
- корни многочлена f(x).
-
- Решение.
- Отделить корни многочлена – это значит найти такие проме-жутки, в
- каждом из которых находится по одному действительному корню данного
- многочлена. Найдем сначала верхнюю и нижнюю гра-ницы действительных
- корней f(x). Применяя формулу
находим, что корни многочлена f(x) заключены в проме¬жутке (–4; 8).
Теперь для многочлена f(x) составим систему (много¬членов) Штурма. Первым и
вторым многочленом этой системы будут служить соответственно сам многочлен
f (x) и его производная f (x) = 4x3 – 6х2 – 14х + 8 = 2(2х3 – 3х2 – 7х + 4).
Для отыскания третьего многочлена разделим с остатком f(x) на f '(x).
Так как в дальнейшем нас будут инте¬ресовать лишь знаки значений многочленов
Штурма, то сами многочлены, а также все промежуточные многочлены в
процессе деления можно умножать на любые положительные числа.
Учитывая это, мы во избежание дробных коэффициентов будем делить 2 f(x) на :
- Обозначим полученный «остаток» от деления через r1(x). Тогда искомый
- многочлен Штурма f(x) будет равен –r1(x), т. е.
- f1(x) =17x2 – 17х – 8.
- Для отыскания следующего многочлена Штурма разделим

- на f1 (x):

Следовательно, f2(х) = 43х – 30. Разделим теперь 43 f1 (x) на f2 (x):

Получим
остаток , который очевидно, отрицателен(его абсолютная величина нас не интересует). Поэтому будем считать, что f3 = 1.
- Итак, имеем
следующую систему Штурма:
f(x)= х4 – 2х3 –
7х2 + 8х + 1,
f '(x)
= 2(2х3 –
Зх2 – 7х + 4) (множитель 2
можно было бы опустить),
f1 (х) = 17х2 – 17х – 8,
f2(x) = 43x – 30,
f3 (х) = 1.
- Сравнивая процесс нахождения этих многочленов с алгоритмом Евклида,
- можно заключить, что (f(x), f '(x)) = 1. Следовательно, условие теоремы Штурма
- выполнено.
- Пользуясьтеоремой Штурма, найдем число всех действительных
- корней нашего многочлена, атакже число его положительных и число его
- отрицательных корней. Результаты вычисленийзапишем в таблицу:
x
|
f(x)
|
f ¢(x)
|
f1 (х)
|
f2(x)
|
f3 (х)
|
Число
перемен знаков
|
Число
потерь перемен
знаков
|
–4
0
8
|
+
+
+
|
–
+
+
|
+
–
+
|
–
–
+
|
+
+
+
|
4
2
0
|


|
- Из таблицы видно, что привозрастании х от –4 до 8 потеряно
- четыре перемены знаков (4 – 0 = 4). Следовательно,наш многочлен имеет
- четыре действительных корня. Кроме того, замечаем, что двепотери перемен
- знаков происходят при переходе от –4 к 0 и две при переходе от 0к 8.
- Следовательно, два корня отрицательны и два положительны. Так как все
- 4корня находятся в промежутке (–4; 8), то будем отделять их, придавая х
- значения –3, –2, –1, 0, 1, 2, . . . ,пока не найдем промежутки для всех
- четырех корней.
x
|
f(x)
|
f ¢(x)
|
f1 (х)
|
f2(x)
|
f3 (х)
|
Число перемен
знаков
|
Число
потерь перемен знаков
|
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
|
+
–
–
+
+
–
–
+
|
–
–
+
+
–
–
+
+
|
+
+
+
–
–
+
+
+
|
–
–
–
–
+
+
+
+
|
+
+
+
+
+
+
+
+
|
4
3
3
2
2
1
1
0
|




|
Из таблицы видно, что корни
нашего многочлена находятся в
промежутках: (–3; –2), (–1; 0), (1; 2), (3; 4).
- Замечание. Заметим, что при решении этой задачи мыпроделали
- много лишней работы, вычисляя значения всех многочленов системы Штурма.
- Здесь, как и во многих других случаях, достаточно было вычислить
- лишь значения самого многочлена f(x), учитывая, что если числа f(а)
и f(b)
- имеют разные знаки, то в промежутке (а; b) существует нечетное число
- действительных корней, и если f(а) и f(b) – числа одного знака, то в
- промежутке (а; b) или не содержится ни одного корня, илисодержится четное
- число корней.
- Исходя изэтого, при решении задачи на отделение корней можно поступать
- следующимобразом. Сначала найти целочисленные границы корней (а; b),
- затем найти знаки чисел
f(a), f(a + l), f(a + 2), . . ., f(b)
- и выписать те
промежутки (k; k + 1), для которых числа f(k) и
- f(k + 1) имеют разные знаки. В каждом из этих промежутков находится
- хотя бы по одному действительному корню. Однако, следует помнить,
- что при этоммы можем пропустить интервалы, в которых находится четное
- число корней, атакже ошибочно заключить, что в промежутке (k; k + 1) находится
- один действительный корень, тогда как на самом деле тамможет быть 3, 5, 7
- и т. д. корней. Для того чтобы избежать подобных ошибок,надо предварительно
- методом Штурма найти число всех действительных корнеймногочлена.
- Полезно также найти отдельно число положительных и отрицательныхкорней.
- Так, в нашей задаче в концах интервала (–3; –2) многочлен f(x) принимает
- значения разных знаков [f(–3)>0, f(–2)
< 0]. Следовательно, винтервале
- (–3; –2) имеется хотя бы один действительный корень. То же самоеможно
- сказать об интервалах (–1; 0); (1; 2); (3; 4). Поскольку общее числодействительных
- корней многочлена f(х) равно четырем, то в каждом из промежутков
- (–3; –2), (–1;0), (1; 2), (3; 4) заключается ровно по одному корню.
Ответ: –3 < a1 <
–2, –1 < a2 <
0, 1 < a3 <
2, 3 < a4 <
4.
Б) f(х)
= х5 – 5х3 – 10х2
+ 2.
Решение.
- Отыскивая границы корней,получим: действительные корни
- многочлена f(x)
содержатся в промежутке (–4;
5). Составим систему многочленов
- Штурма:
- Пользуясь теоремой Штурма,найдем число действительных корней
- многочлена f(x). Предварительно заметим, что поскольку в интервале
(5; + ¥)
- действительных корней нет, то число перемен знаков всистеме Штурма при
- х = 5 будет тем же самым, что и при любом другом значении х >5. Поэтому
- вместо 5 можно подставлять любое как угодно большое число. Этобывает
- полезным, ибо по лемме о модуле старшего члена при достаточно
- большомзначении х знак
многочлена f(x) совпадает со знаком его старшего
- члена. Мы будем вместо 5 условнописать (+¥). Аналогично, вместо (–4) будем
- писать (–¥.
Результаты вычислений запишем в
таблицу:
x
|
f(x)
|
f ¢(x)
|
f1 (х)
|
f2(x)
|
f3(х)
|
f4(х)
|
Число
перемен знаков
|
Число
потерь перемен знаков
|
–¥
0
+¥
|
–
+
+
|
+
0
+
|
–
–
+
|
–
+
–
|
+
–
–
|
–
–
–
|
4
3
1
|


|
- Из таблицы видно, что многочлен f(х) имеет 1 отрицательный
- и 2положительных корня. Для их отделения будем вычислять значения
- многочлена f(х) при целых значениях х из промежутка (–4; 5). Приэтом
- вычисление удобнее начинать с х
= 0:
f(0) > 0, f(l) < 0,
f(2)
< 0, f(3) > 0.
- Дальше для положительных
значений х вычислять f(х) не следует,
- ибо уже из имеющихсяданных видно, что положительные корни (а их всего два)
- находятся в интервалах(0; 1) и (2; 3). Теперь будем придавать х
отрицательные
- значения: f(–1) < 0. Учитывая, что f(0) > 0, заключаем: в промежутке (–1;0)
- имеется действительный (отрицательный) корень. А так как многочлен имеетлишь
- один отрицательный корень, то на этом работа заканчивается. Итак,
- корнимногочлена f(x) заключены в интервалах (–1; 0), (0; 1), (2; 3).
В) f(x) =
4х4 – 12х2 + 8х – 1.
Решение.
- Сначала
устанавливаем, что корни многочлена f(x)
находятсяв
- промежутке (–3; 3). Далее составляем систему Штурма:
f0(х) = 4х4 –
12х2 + 8х – 1,
f1(х) = 8 (2x3 – 3x + 1),
f2(х) = 6x2 – 6x + 1,
f3(х) = 2x – 1,
f4(х) = 1.
- Пользуясьтеоремой Штурма, находим число положительных и
- отрицательных корней.
x
|
f(x)
|
f ¢(x)
|
f1 (х)
|
f2(x)
|
f3(х)
|
Число
перемен знаков
|
Число
потерь перемен знаков
|
–¥
0
+¥
|
+
–
+
|
–
+
+
|
+
+
+
|
–
–
+
|
+
+
+
|
4
3
0
|


|
- Из таблицы видно, что
многочлен f(x) имеет 1 (4 – 3=1) отрицательный
- и 3 положительных корня. Находим значения многочлена f(х): f(–3) > 0,
- f(–2)
> 0, f(–l) < 0, f(0)
< 0, f(1) < 0, f(2)
> 0, f(3) > 0.
- Замечаем, чтов промежутках (–2; –1), (1; 2) имеется, по крайней мере,
- по одному корню. Атак как всего действительных корней 4, то возможны случаи:
- или в каком-либо изуказанных промежутков имеется три корня или в
- каком-либо ином промежуткеимеется два корня. Для выяснения полной
- картины здесь необходимо для значений –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3 вычислятьне
- только значения f(x), но и значения всехостальных многочленов системы
- Штурма. Результаты запишем в таблицу:
x
|
f(x)
|
f ¢(x)
|
f1 (х)
|
f2(x)
|
f3(х)
|
Число
перемен знаков
|
Число
потерь перемен знаков
|
–¥
–3
–2
–1
0
1
2
|
+
+
+
–
–
–
+
|
–
–
–
+
+
0
+
|
+
+
+
+
+
+
+
|
–
–
–
–
–
+
+
|
+
+
+
+
+
+
+
|
4
4
4
3
3
1
0
|



|
- Из таблицы видно, что корни находятся впромежутках
- (–2;–1), (0; 1), (1; 2), причем в промежутке (0; 1) находятся два корня.
- Чтобы отделить их, разделим промежуток (0; 1) на два
- интервала
и найдем знак
числа :

А так как f(0) < 0 и f(1) < 0, то в каждом из промежутков 
находится по одному корню.
Таким образом, корни нашегомногочлена содержатся в
промежутках: (–2; –1), , (1; 2).
Ответ:
(–2; –1), , (1; 2).
|